Чтобы найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 9 дает остаток 1, а при делении на 10 дает остаток 2, мы можем использовать систему уравнений.

Запишем условия задачи в виде уравнений:

• Первое условие: x % 9 = 1, что можно записать как x = 9k + 1, где k - целое число.
• Второе условие: x % 10 = 2, что можно записать как x = 10m + 2, где m - целое число.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. x = 9k + 1
2. x = 10m + 2

Теперь мы можем приравнять эти два выражения:

1. 9k + 1 = 10m + 2

Решим это уравнение относительно k и m:

1. 9k - 10m = 1

Теперь мы будем искать такие целые k и m, которые удовлетворяют этому уравнению. Для этого мы можем подбирать значения k и m.

Начнем с k = 1:

• 9*1 - 10m = 1
• 9 - 10m = 1
• -10m = -8
• m = 0.8 (не целое число)

Теперь попробуем k = 2:

• 9*2 - 10m = 1
• 18 - 10m = 1
• -10m = -17
• m = 1.7 (не целое число)

Теперь попробуем k = 3:

• 9*3 - 10m = 1
• 27 - 10m = 1
• -10m = -26
• m = 2.6 (не целое число)

Теперь попробуем k = 4:

• 9*4 - 10m = 1
• 36 - 10m = 1
• -10m = -35
• m = 3.5 (не целое число)

Теперь попробуем k = 5:

• 9*5 - 10m = 1
• 45 - 10m = 1
• -10m = -44
• m = 4.4 (не целое число)

Теперь попробуем k = 6:

• 9*6 - 10m = 1
• 54 - 10m = 1
• -10m = -53
• m = 5.3 (не целое число)

Теперь попробуем k = 7:

• 9*7 - 10m = 1
• 63 - 10m = 1
• -10m = -62
• m = 6.2 (не целое число)

Теперь попробуем k = 8:

• 9*8 - 10m = 1
• 72 - 10m = 1
• -10m = -71
• m = 7.1 (не целое число)

Теперь попробуем k = 9:

• 9*9 - 10m = 1
• 81 - 10m = 1
• -10m = -80
• m = 8 (целое число)

Теперь мы нашли целые k и m: k = 9 и m = 8.

Теперь подставим k в первое уравнение, чтобы найти x:

• x = 9*9 + 1 = 81 + 1 = 82.

Теперь проверим, удовлетворяет ли число 82 условиям задачи:

• 82 % 9 = 1 (все верно)
• 82 % 10 = 2 (тоже верно)

Таким образом, наименьшее натуральное число, которое при делении на 9 дает остаток 1, а при делении на 10 дает остаток 2, равно 82.