Для решения этой задачи давайте обозначим ширину прямоугольника как w (в сантиметрах). Тогда длина прямоугольника будет w + 5 (так как длина на пять сантиметров больше ширины).

Теперь, давайте запишем площадь исходного прямоугольника. Она будет равна:

• Площадь = длина × ширина = (w + 5) × w = w² + 5w.

Теперь рассмотрим изменения. Если мы увеличим длину на 4 сантиметра и ширину на 2 сантиметра, то новые размеры будут:

• Новая длина = (w + 5) + 4 = w + 9,
• Новая ширина = w + 2.

Теперь найдем новую площадь:

• Новая площадь = новая длина × новая ширина = (w + 9) × (w + 2).

Раскроем скобки:

• Новая площадь = w² + 2w + 9w + 18 = w² + 11w + 18.

Согласно условию задачи, новая площадь увеличивается на 42 квадратных сантиметра по сравнению со старой площадью. Это можно записать как:

• Новая площадь = старая площадь + 42.

Подставим найденные площади в это уравнение:

• w² + 11w + 18 = w² + 5w + 42.

Теперь упростим уравнение:

• Сократим w² с обеих сторон:
• 11w + 18 = 5w + 42.

Теперь перенесем все слагаемые с w на одну сторону, а остальные на другую:

• 11w - 5w = 42 - 18.
• 6w = 24.

Теперь найдем w:

• w = 24 / 6 = 4.

Теперь мы нашли ширину прямоугольника. Теперь найдем длину:

• Длина = w + 5 = 4 + 5 = 9.

Таким образом, мы получили:

• Ширина прямоугольника = 4 см.
• Длина прямоугольника = 9 см.

Ответ: длина прямоугольника 9 см, ширина 4 см.