Чтобы определить, у кого из ребят получилось больше треугольников, давайте сначала вспомним, что для того чтобы три стороны образовали треугольник, необходимо, чтобы выполнялось неравенство треугольника. Это неравенство гласит, что сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны. Также стороны должны быть целыми числами.

Рассмотрим треугольники с целыми сторонами и периметром 23.

1. Обозначим стороны треугольника как a, b и c, где a ≤ b ≤ c.
2. Тогда мы можем записать, что a + b + c = 23.
3. С учетом неравенства треугольника, у нас должно быть a + b > c. Поскольку a + b + c = 23, это неравенство можно переписать как 23 - c > c, что дает 23 > 2c, или c < 11.5. Поскольку c – целое число, то c ≤ 11.
4. Таким образом, c может принимать значения от 8 до 11 (включительно), так как a, b и c должны быть положительными целыми числами.

Теперь найдем возможные комбинации для каждого значения c:

• Если c = 11, тогда a + b = 12. Возможные пары (a, b): (1, 11), (2, 10), (3, 9), (4, 8), (5, 7), (6, 6). Но (6, 6) не подходит, так как стороны не могут быть равны. Итак, 5 комбинаций.
• Если c = 10, тогда a + b = 13. Возможные пары (a, b): (3, 10), (4, 9), (5, 8), (6, 7). Итак, 4 комбинации.
• Если c = 9, тогда a + b = 14. Возможные пары (a, b): (5, 9), (6, 8), (7, 7). Но (7, 7) не подходит. Итак, 2 комбинации.
• Если c = 8, тогда a + b = 15. Возможные пары (a, b): (7, 8). Итак, 1 комбинация.

Теперь сложим все возможные комбинации для периметра 23:

5 + 4 + 2 + 1 = 12 различных треугольников.

Теперь рассмотрим треугольники с периметром 24.

1. Аналогично, a + b + c = 24.
2. По неравенству треугольника, 24 > 2c, или c < 12. Таким образом, c может принимать значения от 8 до 12.

Теперь найдем возможные комбинации для каждого значения c:

• Если c = 12, тогда a + b = 12. Возможные пары (a, b): (1, 11), (2, 10), (3, 9), (4, 8), (5, 7), (6, 6). Но (6, 6) не подходит. Итак, 5 комбинаций.
• Если c = 11, тогда a + b = 13. Возможные пары (a, b): (2, 11), (3, 10), (4, 9), (5, 8), (6, 7). Итак, 5 комбинаций.
• Если c = 10, тогда a + b = 14. Возможные пары (a, b): (4, 10), (5, 9), (6, 8), (7, 7). Но (7, 7) не подходит. Итак, 3 комбинации.
• Если c = 9, тогда a + b = 15. Возможные пары (a, b): (6, 9), (7, 8). Итак, 2 комбинации.
• Если c = 8, тогда a + b = 16. Возможные пары (a, b): (8, 8). Но (8, 8) не подходит. 0 комбинаций.

Теперь сложим все возможные комбинации для периметра 24:

5 + 5 + 3 + 2 + 0 = 15 различных треугольников.

Итак, у Леши (периметр 23) получилось 12 треугольников, а у Миши (периметр 24) – 15 треугольников. Следовательно, у Миши получилось больше треугольников.