На окружности расположено 7 точек. Петя нарисовал все возможные четырехугольники, используя эти точки в качестве вершин. Вася создал все возможные замкнутые 4-звенные ломаные с вершинами в этих точках. А Толик нарисовал все возможные не замкнутые 4-звенные ломанные. Сколько "картинок" получилось у Пети? Сколько у Васи? Сколько у Толи?

Математика 7 класс Комбинаторика четырехугольники на окружности комбинаторика геометрия задачи по математике количество фигур замкнутые ломаные не замкнутые ломаные точки на окружности математика для 7 класса решение задач Новый

Давайте разберем задачу по шагам и найдем количество фигур, которые нарисовали Петя, Вася и Толик.

1. Количество четырехугольников, нарисованных Петей:

Чтобы нарисовать четырехугольник, нужно выбрать 4 точки из 7. Мы используем сочетания, так как порядок точек в четырехугольнике не важен.

Количество способов выбрать 4 точки из 7 можно найти по формуле сочетаний:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), где n - общее количество точек, k - количество точек, которые мы выбираем.

В нашем случае n = 7, k = 4:

C(7, 4) = 7! / (4! * (7 - 4)!) = 7! / (4! * 3!) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 35.

Таким образом, Петя нарисовал 35 четырехугольников.

2. Количество замкнутых 4-звенных ломаных, созданных Васей:

Замкнутая 4-звенная ломаная состоит из 4 точек, и порядок в этой ломаной важен. Мы можем выбрать 4 точки из 7, а затем расставить их в круге.

Количество способов выбрать 4 точки из 7 остается прежним - 35. Теперь, чтобы найти количество различных замкнутых ломаных, нужно учесть, что для 4 точек в круге количество перестановок делится на количество точек (поскольку круг можно вращать).

Количество перестановок 4 точек равно 4!, но мы делим на 4 (поскольку мы можем начать с любой точки):

Количество замкнутых 4-звенных ломаных = C(7, 4) * (4 - 1)! = 35 * 6 = 210.

Таким образом, Вася создал 210 замкнутых 4-звенных ломаных.

3. Количество не замкнутых 4-звенных ломанных, нарисованных Толи:

Не замкнутая 4-звенная ломаная также состоит из 4 точек, и порядок точек важен. Мы также можем выбрать 4 точки из 7, но теперь учитываем все возможные перестановки этих 4 точек.

Количество не замкнутых 4-звенных ломанных = C(7, 4) * 4! = 35 * 24 = 840.

Таким образом, Толик нарисовал 840 не замкнутых 4-звенных ломанных.

Итак, подводя итог:

• Петя нарисовал 35 четырехугольников.
• Вася создал 210 замкнутых 4-звенных ломаных.
• Толик нарисовал 840 не замкнутых 4-звенных ломанных.