Чтобы решить эту задачу, нам нужно понять, как связаны количество поединков и количество спортсменов. Давайте обозначим количество спортсменов как N.

Каждый спортсмен играет с каждым другим спортсменом по одному разу. Это значит, что количество поединков можно вычислить по формуле:

Количество поединков = N * (N - 1) / 2

Здесь N * (N - 1) - это количество пар спортсменов, а деление на 2 нужно, чтобы избежать двойного счета (например, поединок между спортсменами A и B считается тем же, что и поединок между B и A).

Теперь мы знаем, что количество поединков равно 120. Подставим это значение в формулу:

N * (N - 1) / 2 = 120

Чтобы избавиться от деления, умножим обе стороны уравнения на 2:

N * (N - 1) = 240

Теперь нам нужно решить это уравнение. Раскроем скобки:

N^2 - N - 240 = 0

Это квадратное уравнение, и его можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант (D) вычисляется по формуле:

D = b^2 - 4ac

В нашем уравнении a = 1, b = -1, c = -240. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-240) = 1 + 960 = 961

Теперь найдем корни уравнения по формуле:

N = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

N = (1 ± √961) / 2

Так как √961 = 31, то:

N = (1 ± 31) / 2

Теперь у нас есть два возможных значения:

• N = (1 + 31) / 2 = 32 / 2 = 16
• N = (1 - 31) / 2 = -30 / 2 = -15 (это значение не имеет смысла, так как количество спортсменов не может быть отрицательным)

Таким образом, количество спортсменов, принимавших участие в соревнованиях, равно 16.