После строительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на участке рядом с домом. Если укладывать плитки в ряд по 10, то для квадратной площадки плиток не хватает. При укладывании в ряд по 8 плиток остаётся один неполный ряд. А при укладывании по 9 плиток тоже остаётся неполный ряд, в котором на 6 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 8. Сколько всего плиток осталось после строительства дома?

Математика 7 класс Системы уравнений математика 7 класс задача плитки прямоугольная площадка укладка плиток квадратная площадка остаток плиток деление условия задачи неполный ряд решение задачи количество плиток Новый

Для решения задачи необходимо обозначить количество плиток, оставшихся после строительства дома, как x.

Из условия задачи мы можем выделить несколько ключевых моментов:

• При укладывании плиток в ряд по 10, для квадратной площадки плиток не хватает. Это значит, что x не является квадратом числа и при делении на 10 даёт остаток, который меньше необходимого для завершения квадрата.
• При укладывании плиток по 8, остаётся один неполный ряд, что говорит о том, что x при делении на 8 даёт остаток 1: x mod 8 = 1.
• При укладывании по 9 плиток также остаётся неполный ряд, в котором на 6 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 8. Это означает, что если при делении на 9 остаток r, то r = (x mod 8) - 6.

Теперь запишем уравнения:

1. Согласно первому условию: x mod 10 ≠ 0.
2. Согласно второму условию: x mod 8 = 1.
3. Согласно третьему условию: x mod 9 = (x mod 8) - 6 = 1 - 6 = -5, но поскольку остаток не может быть отрицательным, мы добавим 9, чтобы получить x mod 9 = 4.

Теперь у нас есть система уравнений:

• x mod 8 = 1
• x mod 9 = 4
• x mod 10 ≠ 0

Решим систему уравнений. Начнём с первого уравнения:

Поскольку x mod 8 = 1, можно записать x = 8k + 1, где k — целое число.

Подставим это выражение во второе уравнение:

8k + 1 mod 9 = 4.

Это уравнение можно упростить:

(8k + 1) mod 9 = (8k mod 9 + 1 mod 9) mod 9 = (8k mod 9 + 1) mod 9 = 4.

Теперь решим 8k mod 9 = 3.

Поскольку 8 и 9 взаимно простые, мы можем перебрать значения k:

• k = 0 → 8*0 mod 9 = 0
• k = 1 → 8*1 mod 9 = 8
• k = 2 → 8*2 mod 9 = 7
• k = 3 → 8*3 mod 9 = 6
• k = 4 → 8*4 mod 9 = 5
• k = 5 → 8*5 mod 9 = 4
• k = 6 → 8*6 mod 9 = 3 (подходит)

Теперь подставим k = 6 в x = 8k + 1:

x = 8*6 + 1 = 48 + 1 = 49.

Проверим, удовлетворяет ли x = 49 третьему условию:

• 49 mod 10 = 9 (не равно 0)
• 49 mod 8 = 1 (выполняется)
• 49 mod 9 = 4 (выполняется)

Таким образом, все условия задачи выполнены, и количество плиток, оставшихся после строительства дома, составляет 49 плиток.