Для решения задачи необходимо обозначить количество плиток, оставшихся после строительства дома, как x.

Из условия задачи мы можем выделить несколько ключевых моментов:

• При укладывании плиток в ряд по 10, для квадратной площадки плиток не хватает. Это значит, что x не является квадратом числа и при делении на 10 даёт остаток, который меньше необходимого для завершения квадрата.
• При укладывании плиток по 8, остаётся один неполный ряд, что говорит о том, что x при делении на 8 даёт остаток 1: x mod 8 = 1.
• При укладывании по 9 плиток также остаётся неполный ряд, в котором на 6 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 8. Это означает, что если при делении на 9 остаток r, то r = (x mod 8) - 6.

Теперь запишем уравнения:

1. Согласно первому условию: x mod 10 ≠ 0.
2. Согласно второму условию: x mod 8 = 1.
3. Согласно третьему условию: x mod 9 = (x mod 8) - 6 = 1 - 6 = -5, но поскольку остаток не может быть отрицательным, мы добавим 9, чтобы получить x mod 9 = 4.

Теперь у нас есть система уравнений:

• x mod 8 = 1
• x mod 9 = 4
• x mod 10 ≠ 0

Решим систему уравнений. Начнём с первого уравнения:

Поскольку x mod 8 = 1, можно записать x = 8k + 1, где k — целое число.

Подставим это выражение во второе уравнение:

8k + 1 mod 9 = 4.

Это уравнение можно упростить:

(8k + 1) mod 9 = (8k mod 9 + 1 mod 9) mod 9 = (8k mod 9 + 1) mod 9 = 4.

Теперь решим 8k mod 9 = 3.

Поскольку 8 и 9 взаимно простые, мы можем перебрать значения k:

• k = 0 → 8*0 mod 9 = 0
• k = 1 → 8*1 mod 9 = 8
• k = 2 → 8*2 mod 9 = 7
• k = 3 → 8*3 mod 9 = 6
• k = 4 → 8*4 mod 9 = 5
• k = 5 → 8*5 mod 9 = 4
• k = 6 → 8*6 mod 9 = 3 (подходит)

Теперь подставим k = 6 в x = 8k + 1:

x = 8*6 + 1 = 48 + 1 = 49.

Проверим, удовлетворяет ли x = 49 третьему условию:

• 49 mod 10 = 9 (не равно 0)
• 49 mod 8 = 1 (выполняется)
• 49 mod 9 = 4 (выполняется)

Таким образом, все условия задачи выполнены, и количество плиток, оставшихся после строительства дома, составляет 49 плиток.