Сколькими способами можно представить число 1024 в виде произведения трех сомножителей, если произведения, отличающиеся только порядком сомножителей, считаются одинаковыми?

Математика 7 класс Комбинаторика представление числа 1024 произведение трех сомножителей способы представления числа математика 7 класс комбинаторика деление на множители задачи на произведение порядок сомножителей

Чтобы решить задачу, начнем с разложения числа 1024 на простые множители. 1024 является степенью двойки, а именно:

1024 = 2^10

Теперь нам нужно представить число 1024 в виде произведения трех сомножителей, то есть найти такие натуральные числа a, b и c, что:

a * b * c = 1024

При этом мы можем записать a, b и c в виде степеней двойки:

a = 2^x, b = 2^y, c = 2^z

Тогда у нас будет:

2^x * 2^y * 2^z = 2^10

Сравнивая степени, получаем:

x + y + z = 10

Теперь задача сводится к нахождению неотрицательных целых решений уравнения x + y + z = 10.

Для этого мы можем использовать метод "звёзд и палочек". Количество неотрицательных целых решений уравнения:

x1 + x2 + ... + xr = n

равно:

C(n + r - 1, r - 1)

где C - это биномиальный коэффициент, n - сумма, а r - количество переменных.

В нашем случае n = 10, r = 3 (так как у нас три сомножителя: a, b и c). Подставляем значения:

C(10 + 3 - 1, 3 - 1) = C(12, 2)

Теперь вычислим биномиальный коэффициент C(12, 2):

C(12, 2) = 12! / (2! * (12 - 2)!) = (12 * 11) / (2 * 1) = 66

Таким образом, количество способов представить число 1024 в виде произведения трех сомножителей, если порядки не важны, равно 66.

Ответ: 66

Число 1024 можно представить в виде произведения трех сомножителей следующими способами:

1. 1 x 1 x 1024
2. 1 x 2 x 512
3. 1 x 4 x 256
4. 1 x 8 x 128
5. 1 x 16 x 64
6. 1 x 32 x 32
7. 2 x 2 x 256
8. 2 x 4 x 128
9. 2 x 8 x 64
10. 2 x 16 x 32
11. 4 x 4 x 64
12. 4 x 8 x 32
13. 4 x 16 x 16
14. 8 x 8 x 16

Всего 14 способов.