Сколько пар двузначных чисел можно составить, если разность между ними равна 22, а произведение этих чисел является четырёхзначным числом?

Математика 7 класс Комбинаторика Двузначные числа разность 22 произведение четырёхзначное математическая задача количество пар чисел Новый

Чтобы решить задачу, давайте обозначим два двузначных числа как x и y. Из условия задачи известно, что:

• Разность между числами равна 22, то есть x - y = 22.
• Произведение этих чисел является четырёхзначным числом, то есть 1000 ≤ x * y < 10000.

Теперь мы можем выразить одно из чисел через другое. Из первого уравнения получаем:

x = y + 22

Теперь подставим это выражение во второе условие:

1000 ≤ (y + 22) * y < 10000

Раскроем скобки:

1000 ≤ y^2 + 22y < 10000

Теперь мы можем решить каждое из неравенств по отдельности.

1. Начнем с первого неравенства:

y^2 + 22y - 1000 ≥ 0

Чтобы найти корни этого квадратного уравнения, используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 22^2 - 4 1 (-1000) = 484 + 4000 = 4484

Теперь найдем корни:

y1,2 = (-b ± √D) / 2a = (-22 ± √4484) / 2

Вычислим √4484:

√4484 ≈ 67.03 (округляем до двух знаков после запятой для удобства)

Теперь подставим это значение в формулу для корней:

y1 ≈ (-22 + 67.03) / 2 ≈ 22.515
y2 ≈ (-22 - 67.03) / 2 ≈ -44.515

Поскольку y должно быть двузначным числом, оставим только положительный корень:

y ≥ 23 (округляем до целого числа, так как y должно быть целым)

2. Теперь решим второе неравенство:

y^2 + 22y < 10000

Аналогично, находим корни:

D = 22^2 - 4 1 10000 = 484 - 40000 = -39516

Так как дискриминант отрицательный, это означает, что неравенство не имеет действительных корней, и парабола открыта вверх. Следовательно, оно всегда выполняется.

Теперь мы знаем, что:

23 ≤ y < 78 (так как y должно быть двузначным и меньше 100)

Теперь найдем возможные значения для y:

• y может принимать значения от 23 до 77 (включительно).

Подсчитаем количество целых чисел в этом диапазоне:

77 - 23 + 1 = 55

Теперь мы можем найти соответствующие значения для x:

x = y + 22, следовательно, x будет принимать значения от 45 до 99.

Таким образом, у нас есть 55 пар двузначных чисел (x, y), которые удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 55 пар двузначных чисел.