Чтобы определить, сколько возможных длин может быть у третьей стороны треугольника, если длины двух других сторон равны 6 и 10, нам нужно воспользоваться неравенством треугольника. Это неравенство гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны, а также длина третьей стороны должна быть меньше суммы двух других сторон.

Обозначим длину третьей стороны как x. Тогда мы можем записать следующие неравенства:

1. Сумма двух сторон должна быть больше третьей: 6 + 10 > x
2. Каждая из сторон должна быть больше разности двух других: x + 6 > 10
3. x + 10 > 6

Теперь решим каждое из этих неравенств:

1. Первое неравенство: 6 + 10 > x
16 > x или x < 16.
2. Второе неравенство: x + 6 > 10
x > 4.
3. Третье неравенство: x + 10 > 6
x > -4, но это не накладывает ограничений, так как x уже больше 4.

Теперь мы можем объединить результаты:

Таким образом, у нас есть два условия:

• x < 16
• x > 4

Объединив эти условия, мы получаем:

Теперь найдем, сколько целых значений может принимать x:

• 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

Это 11 возможных целых значений для длины третьей стороны.

Ответ: 11 возможных длин для третьей стороны треугольника.