Для решения поставленных задач необходимо учитывать количество карточек каждого цвета и применять принципы комбинаторики, в частности, принцип «птичьего гнезда» (или принцип Дирихле). Этот принцип утверждает, что если n предметов помещаются в m ячеек, и если n > m, то по крайней мере одна ячейка должна содержать более одного предмета.

В коробке находятся:

• 2 синих карточки
• 4 зеленых карточки
• 6 красных карточек

Теперь рассмотрим каждый пункт отдельно:

1. Наименьшее количество карточек, чтобы оказалась хотя бы одна красная карточка:

   Чтобы гарантировать наличие хотя бы одной красной карточки, нужно учесть, что могут быть вытянуты все синие и зеленые карточки. Всего 6 карточек (2 синих + 4 зеленых). Поэтому, чтобы гарантировать наличие хотя бы одной красной карточки, нужно вынуть 7 карточек.

2. Наименьшее количество карточек, чтобы оказалась хотя бы одна зеленая карточка:

   Аналогично, чтобы гарантировать наличие хотя бы одной зеленой карточки, нужно учесть, что могут быть вытянуты все синие и красные карточки. Всего 8 карточек (2 синих + 6 красных). Поэтому, чтобы гарантировать наличие хотя бы одной зеленой карточки, нужно вынуть 9 карточек.

3. Наименьшее количество карточек, чтобы оказались хотя бы две красные карточки:

   Чтобы гарантировать наличие хотя бы двух красных карточек, нужно учесть, что могут быть вытянуты все синие и зеленые карточки, а также одна красная карточка. Всего 8 карточек (2 синих + 4 зеленых + 1 красная). Поэтому, чтобы гарантировать наличие хотя бы двух красных карточек, нужно вынуть 9 карточек.

4. Наименьшее количество карточек, чтобы оказались хотя бы две карточки одного цвета:

   В данном случае, если мы вытянем 4 карточки, то возможно, что каждая карточка будет разного цвета (2 синих, 4 зеленых и 6 красных). Но если мы вытянем 5 карточек, то по принципу «птичьего гнезда» хотя бы одна карточка будет повторяться. Поэтому нужно вынуть 5 карточек.

5. Наименьшее количество карточек, чтобы оказались хотя бы две карточки разного цвета:

   Если мы вытянем 1 карточку, то она будет только одного цвета. Если же мы вытянем 2 карточки, то они могут быть одного цвета, но если мы вытянем 3 карточки, то по принципу «птичьего гнезда» хотя бы одна карточка будет другого цвета. Поэтому нужно вынуть 3 карточки.

6. Наименьшее количество карточек, чтобы оказались хотя бы три карточки одного цвета:

   Чтобы гарантировать наличие хотя бы трех карточек одного цвета, нужно учесть, что могут быть вытянуты все карточки другого цвета. В этом случае, если мы вытянем 8 карточек (2 синих + 4 зеленых + 2 красных),то не будет трех карточек одного цвета. Однако при вытягивании 9 карточек хотя бы одна карточка будет трех одного цвета. Поэтому нужно вынуть 9 карточек.

7. Наименьшее количество карточек, чтобы оказались хотя бы три карточки разных цветов:

   Чтобы гарантировать наличие хотя бы трех карточек разных цветов, нужно учесть, что мы можем вытянуть только карточки одного цвета. Если мы вытянем 2 карточки, они могут быть одного цвета. Но при вытягивании 3 карточек мы точно получим хотя бы одну карточку каждого цвета. Поэтому нужно вынуть 3 карточки.