Для многочлена P(x) выполняются равенства P(x) + P(x + 1) = 3x^2 - x + 2 и P(1) + P(3) = 2. Как можно определить значение P(1)?

Математика 8 класс Многочлены многочлен P(x) равенства P(x) значение P(1) математика 8 класс решение уравнений алгебраические выражения свойства многочленов Новый

Чтобы определить значение P(1), начнем с анализа данного уравнения:

P(x) + P(x + 1) = 3x^2 - x + 2

Это уравнение говорит нам о том, что сумма многочлена P(x) и его значения в точке x + 1 равна квадратному многочлену 3x^2 - x + 2. Поскольку P(x) - многочлен, давайте предположим, что P(x) имеет вид:

• P(x) = ax^2 + bx + c

Теперь подставим P(x) и P(x + 1) в уравнение:

• P(x + 1) = a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + b(x + 1) + c = ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)

Теперь сложим P(x) и P(x + 1):

• P(x) + P(x + 1) = (ax^2 + bx + c) + (ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c))
• = 2ax^2 + (b + 2a + b)x + (c + a + b + c)
• = 2ax^2 + (2b + 2a)x + (2c + a + b)

Теперь приравняем это выражение к 3x^2 - x + 2:

• 2a = 3
• 2b + 2a = -1
• 2c + a + b = 2

Решим систему уравнений:

1. Из первого уравнения: 2a = 3, следовательно, a = 3/2.
2. Подставим a в второе уравнение: 2b + 2(3/2) = -1. Это дает: 2b + 3 = -1, откуда 2b = -4, значит b = -2.
3. Теперь подставим a и b в третье уравнение: 2c + (3/2) + (-2) = 2. Это дает: 2c - (1/2) = 2, откуда 2c = 2 + (1/2) = 5/2, значит c = 5/4.

Таким образом, мы получили:

P(x) = (3/2)x^2 - 2x + (5/4).

Теперь найдем значение P(1):

• P(1) = (3/2)(1)^2 - 2(1) + (5/4) = (3/2) - 2 + (5/4).

Приведем все к общему знаменателю (4):

• P(1) = (6/4) - (8/4) + (5/4) = (6 - 8 + 5) / 4 = 3/4.

Таким образом, значение P(1) равно 3/4.