Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см, а площадь этого треугольника составляет 120 см². Как можно найти длину меньшего катета?

Математика 8 класс Прямоугольные треугольники длина меньшего катета гипотенуза прямоугольный треугольник площадь треугольника решение задачи по математике Новый

Чтобы найти длину меньшего катета прямоугольного треугольника, у нас есть гипотенуза и площадь треугольника. Давайте обозначим:

• гипотенуза - c = 26 см,
• длину одного катета - a,
• длину другого катета - b.

Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (a * b) / 2

Из условия задачи нам известно, что площадь равна 120 см². Подставляем это значение в формулу:

120 = (a * b) / 2

Умножаем обе стороны уравнения на 2:

240 = a * b

Теперь у нас есть два уравнения:

1. a * b = 240 (1)
2. a² + b² = c² (по теореме Пифагора, где c = 26 см) (2)

Подставляем значение гипотенузы в уравнение (2):

a² + b² = 26²

Это равняется:

a² + b² = 676 (3)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (3). Мы можем выразить b через a из уравнения (1):

b = 240 / a

Подставляем это выражение для b в уравнение (3):

a² + (240 / a)² = 676

Теперь упростим это уравнение:

a² + 57600 / a² = 676

Умножим всё на a², чтобы избавиться от дроби:

a^4 - 676a² + 57600 = 0

Теперь сделаем замену: пусть x = a². Тогда уравнение принимает вид:

x² - 676x + 57600 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-676)² - 4 * 1 * 57600

Сначала вычислим D:

D = 456976 - 230400 = 226576

Теперь находим корни уравнения:

x = (676 ± √226576) / 2

Вычислим √226576, это равно 476:

x1 = (676 + 476) / 2 = 576

x2 = (676 - 476) / 2 = 100

Теперь возвращаемся к a²:

a² = 576 или a² = 100

Следовательно, a = √576 = 24 см или a = √100 = 10 см.

Теперь найдем b для каждого случая:

• Если a = 24 см, то b = 240 / 24 = 10 см.
• Если a = 10 см, то b = 240 / 10 = 24 см.

Таким образом, меньший катет равен 10 см.

Ответ: Длина меньшего катета равна 10 см.