Гипотенуза прямоугольного треугольника составляет 82 см, а его площадь равна 720 см². Как можно найти катеты этого треугольника?

Математика 8 класс Прямоугольные треугольники гипотенуза прямоугольный треугольник катеты площадь 8 класс математика задача формулы решение высота Теорема Пифагора вычисление геометрия Новый

Для нахождения катетов прямоугольного треугольника, зная гипотенузу и площадь, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Обозначение переменных: Пусть катеты треугольника обозначим как a и b. Гипотенуза обозначается как c, где c = 82 см.
2. Формула площади: Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через катеты следующим образом:

   Площадь = (a * b) / 2.

   В нашем случае площадь равна 720 см², следовательно:

   (a * b) / 2 = 720.

   Отсюда получаем:

   a * b = 1440.

3. Формула Пифагора: Для прямоугольного треугольника также справедлива теорема Пифагора:

   a² + b² = c².

   Зная, что c = 82 см, подставляем значение:

   a² + b² = 82² = 6724.

4. Система уравнений: Теперь у нас есть система из двух уравнений:
   • 1) a * b = 1440
   • 2) a² + b² = 6724
5. Выражение одного катета через другой: Из первого уравнения можно выразить один катет через другой:

   b = 1440 / a.

6. Подстановка: Подставим выражение для b во второе уравнение:

   a² + (1440 / a)² = 6724.

   Упростим уравнение:

   a² + 2073600 / a² = 6724.

7. Умножение на a²: Умножим обе стороны уравнения на a², чтобы избавиться от дроби:

   a^4 - 6724a² + 2073600 = 0.

8. Решение квадратного уравнения: Это уравнение можно решить с помощью дискриминанта или других методов решения квадратных уравнений.
9. Нахождение катетов: После нахождения значения a, можно найти b, подставив a обратно в выражение b = 1440 / a.

Таким образом, используя данные о гипотенузе и площади, можно последовательно найти катеты прямоугольного треугольника.