Каковы длины катетов прямоугольного треугольника, если площадь равна 24 см², а гипотенуза составляет 10 см?

Математика 8 класс Прямоугольные треугольники длина катетов прямоугольный треугольник площадь треугольника гипотенуза задачи по математике 8 класс Новый

Чтобы найти длины катетов прямоугольного треугольника, когда известны площадь и длина гипотенузы, нам нужно использовать несколько формул.

Шаг 1: Используем формулу площади треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:

Площадь = (a * b) / 2,

где a и b - длины катетов. В нашем случае площадь равна 24 см², поэтому:

(a * b) / 2 = 24.

Умножим обе стороны на 2:

a * b = 48.

Шаг 2: Используем теорему Пифагора.

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется следующее равенство:

a² + b² = c²,

где c - длина гипотенузы. В нашем случае c = 10 см, поэтому:

a² + b² = 10² = 100.

Шаг 3: Мы имеем систему уравнений.

Теперь у нас есть два уравнения:

• a * b = 48 (1)
• a² + b² = 100 (2)

Шаг 4: Выразим один катет через другой.

Из уравнения (1) выразим b:

b = 48 / a.

Шаг 5: Подставим b в уравнение (2).

Теперь подставим значение b в уравнение (2):

a² + (48 / a)² = 100.

Раскроем скобки:

a² + 2304 / a² = 100.

Умножим все на a², чтобы избавиться от дроби:

a^4 - 100a² + 2304 = 0.

Шаг 6: Обозначим переменную.

Пусть x = a². Тогда у нас получается квадратное уравнение:

x² - 100x + 2304 = 0.

Шаг 7: Найдем дискриминант.

Дискриминант D = b² - 4ac:

D = (-100)² - 4 * 1 * 2304 = 10000 - 9216 = 784.

Шаг 8: Найдем корни уравнения.

Корни уравнения находятся по формуле:

x = (100 ± √D) / 2.

В нашем случае:

x₁ = (100 + 28) / 2 = 64,

x₂ = (100 - 28) / 2 = 36.

Шаг 9: Найдем a и b.

Так как x = a², то:

• a² = 64, значит a = 8 см;
• b² = 36, значит b = 6 см.

Ответ: Длины катетов прямоугольного треугольника равны 8 см и 6 см.