Как можно найти объем котлована и часовую норму выработки экскаватора, если экскаватор должен вырыть котлован за определенное время, и если он будет вынимать в час на 200 м³ грунта больше, то работа будет закончена на 10 часов раньше графика, а если же экскаватор будет вынимать за каждый час на 100 м³ меньше нормы, то работа будет выполнена на 10 часов позже, чем положена по графику?

Математика 8 класс Системы уравнений объем котлована часовая норма выработки экскаватор выемка грунта время работы экскаватора график работы математическая задача решение задачи система уравнений производительность экскаватора Новый

Для решения этой задачи давайте обозначим несколько переменных:

• V - объем котлована (в м³);
• x - часовая норма выработки экскаватора (в м³/ч);
• t - время, за которое экскаватор должен вырыть котлован по графику (в часах).

Сначала мы можем записать два уравнения, основываясь на условиях задачи:

1. Если экскаватор вынимает на 200 м³ больше в час, то работа заканчивается на 10 часов раньше:

Тогда новая часовая норма будет (x + 200) м³/ч, и время работы составит (t - 10) часов. Мы можем записать уравнение:

V = (x + 200) * (t - 10)
2. Если экскаватор вынимает на 100 м³ меньше в час, то работа заканчивается на 10 часов позже:

В этом случае новая часовая норма будет (x - 100) м³/ч, и время работы составит (t + 10) часов. Записываем второе уравнение:

V = (x - 100) * (t + 10)

Теперь у нас есть две формулы для объема V:

• V = (x + 200) * (t - 10)
• V = (x - 100) * (t + 10)

Поскольку объем котлована V одинаков в обоих случаях, мы можем приравнять эти два уравнения:

(x + 200) (t - 10) = (x - 100) (t + 10)

Теперь раскроем скобки:

• xt - 10x + 200t - 2000 = xt + 10x - 100t - 1000

Упростим уравнение, перенесем все члены на одну сторону:

• -10x + 200t - 2000 - 10x + 100t + 1000 = 0

Соберем подобные члены:

-20x + 300t - 1000 = 0

Теперь выразим x через t:

20x = 300t - 1000

x = 15t - 50

Теперь подставим x в одно из уравнений для V. Например, подставим в первое уравнение:

V = (15t - 50 + 200) * (t - 10)

V = (15t + 150) * (t - 10)

Теперь раскроем скобки:

V = 15t^2 - 150t + 1500

Теперь у нас есть выражение для V через t. Чтобы найти t, мы можем использовать второе уравнение для V:

V = (15t - 50 - 100) * (t + 10)

V = (15t - 150) * (t + 10)

Раскроем скобки:

V = 15t^2 + 150t - 1500

Теперь приравняем два выражения для V:

15t^2 - 150t + 1500 = 15t^2 + 150t - 1500

Сократим 15t^2:

-150t + 1500 = 150t - 1500

Соберем все члены:

-300t = -3000

t = 10

Теперь подставим значение t в выражение для x:

x = 15*10 - 50 = 100

Теперь можем найти объем котлована:

V = (100 + 200) (10 - 10) = 300 10 = 3000 м³

Таким образом, мы нашли:

• Объем котлована (V) = 3000 м³;
• Часовая норма выработки экскаватора (x) = 100 м³/ч.