Как можно определить стороны прямоугольника, если его периметр составляет 38 см, а при увеличении одной стороны на 5 см и уменьшении другой на 3 см площадь нового прямоугольника превышает площадь исходного на 16 см²?

Математика 8 класс Системы уравнений стороны прямоугольника периметр 38 см площадь прямоугольника увеличение стороны на 5 см уменьшение стороны на 3 см изменение площади прямоугольника Новый

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим стороны прямоугольника как:

• a - одна сторона
• b - другая сторона

Сначала используем информацию о периметре. Периметр прямоугольника рассчитывается по формуле:

P = 2(a + b)

По условию задачи периметр равен 38 см. Подставим это значение в формулу:

2(a + b) = 38

Разделим обе стороны уравнения на 2:

a + b = 19

Теперь у нас есть первое уравнение:

(1) a + b = 19

Теперь перейдем ко второй части задачи, касающейся площади. Площадь исходного прямоугольника рассчитывается как:

S = a * b

Если увеличить одну сторону на 5 см и уменьшить другую на 3 см, то новые размеры будут:

• a + 5
• b - 3

Площадь нового прямоугольника будет:

S' = (a + 5)(b - 3)

По условию задачи площадь нового прямоугольника превышает площадь исходного на 16 см²:

S' = S + 16

Теперь подставим выражения для площадей:

(a + 5)(b - 3) = ab + 16

Раскроем скобки слева:

ab - 3a + 5b - 15 = ab + 16

Теперь упростим это уравнение. Выразим ab с обеих сторон:

-3a + 5b - 15 = 16

Переносим 16 на левую сторону:

-3a + 5b - 31 = 0

Таким образом, у нас есть второе уравнение:

(2) -3a + 5b = 31

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. (1) a + b = 19
2. (2) -3a + 5b = 31

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим b:

b = 19 - a

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

-3a + 5(19 - a) = 31

Раскроем скобки:

-3a + 95 - 5a = 31

Соберем подобные слагаемые:

-8a + 95 = 31

Переносим 95 на правую сторону:

-8a = 31 - 95

-8a = -64

Теперь делим обе стороны на -8:

a = 8

Теперь подставим значение a в первое уравнение, чтобы найти b:

8 + b = 19

b = 19 - 8

b = 11

Таким образом, стороны прямоугольника равны:

• a = 8 см
• b = 11 см

Теперь проверим условия задачи:

Периметр: 2(8 + 11) = 38 см. Условие выполнено.

Площадь исходного прямоугольника: 8 * 11 = 88 см².

Площадь нового прямоугольника: (8 + 5)(11 - 3) = 13 * 8 = 104 см².

Разница в площади: 104 - 88 = 16 см². Условие также выполнено.

Ответ: стороны прямоугольника равны 8 см и 11 см.