Как можно определить, за сколько дней каждый из двух рабочих сможет выполнить задание самостоятельно, если известно, что они могут выполнить его вместе за 4 дня, а если первый рабочий выполнит треть задания, а затем его заменит второй, то всё задание будет завершено за 10 дней?

Математика 8 класс Системы уравнений математика 8 класс задача на совместную работу определение времени работы рабочие выполняют задание система уравнений задачи на движение работа и время решение задач математические модели совместная работа рабочих Новый

Для решения этой задачи давайте обозначим:

• A - количество дней, за которое первый рабочий выполнит задание самостоятельно.
• B - количество дней, за которое второй рабочий выполнит задание самостоятельно.

Из условия задачи мы знаем, что:

1. Оба рабочих могут выполнить задание вместе за 4 дня. Это значит, что их совместная работа за один день составляет 1/4 задания. Таким образом, мы можем записать уравнение:
2. 1/A + 1/B = 1/4.

Также известно, что если первый рабочий выполнит треть задания, а затем его заменит второй, то всё задание будет завершено за 10 дней. Первому рабочему потребуется:

1. Выполнить 1/3 задания: это займет 1/3 * A дней.
2. Второй рабочий выполнит оставшиеся 2/3 задания: это займет 2/3 * B дней.

Суммарное время выполнения задания составит 10 дней, и мы можем записать второе уравнение:

1. 1/3 * A + 2/3 * B = 10.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 1/A + 1/B = 1/4 (1)
• 1/3 * A + 2/3 * B = 10 (2)

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Начнем с первого уравнения (1):

Перепишем его в более удобной форме:

• 1/B = 1/4 - 1/A.

Теперь выразим B через A:

• B = 4A/(A - 4).

Теперь подставим это значение B во второе уравнение (2):

• 1/3 * A + 2/3 * (4A/(A - 4)) = 10.

Умножим все уравнение на 3(A - 4), чтобы избавиться от дробей:

• A(A - 4) + 8A = 30(A - 4).

Раскроем скобки:

• A^2 - 4A + 8A = 30A - 120.

Соберем все в одну сторону:

• A^2 - 26A + 120 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = (-26)^2 - 4 * 1 * 120 = 676 - 480 = 196.

Теперь найдём корни уравнения:

• A1 = (26 + sqrt(196)) / 2 = (26 + 14) / 2 = 20 / 2 = 10.
• A2 = (26 - sqrt(196)) / 2 = (26 - 14) / 2 = 12 / 2 = 6.

Таким образом, мы получили два значения для A: 10 и 6. Теперь найдем соответствующие значения для B, подставив A обратно в одно из уравнений:

• Если A = 10, то B = 4 * 10 / (10 - 4) = 40 / 6 = 20/3 ≈ 6.67.
• Если A = 6, то B = 4 * 6 / (6 - 4) = 24 / 2 = 12.

Итак, мы имеем два возможных решения:

• Первый рабочий может выполнить задание за 10 дней, а второй - за 20/3 дня (примерно 6.67 дней).
• Либо первый рабочий может выполнить задание за 6 дней, а второй - за 12 дней.

Таким образом, мы определили, за сколько дней каждый из рабочих сможет выполнить задание самостоятельно.