Как можно разложить на множители выражение: (x+1)^3+x?

Математика 8 класс Разложение многочленов на множители разложить на множители выражение (x+1)^3+x математика 8 класс алгебра факторизация учебник математики примеры разложения Новый

Чтобы разложить выражение (x+1)^3 + x на множители, мы начнем с того, что упростим его. Давайте рассмотрим выражение по шагам.

1. Раскроем скобки в первом слагаемом:
   • (x+1)^3 = (x+1)(x+1)(x+1).
   • Сначала раскроем (x+1)(x+1):
   • (x+1)(x+1) = x^2 + 2x + 1.
   • Теперь умножим это выражение на (x+1):
   • (x^2 + 2x + 1)(x + 1) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1.
2. Теперь добавим второе слагаемое:
   • Мы имеем x^3 + 3x^2 + 3x + 1 + x.
   • Сложим подобные члены:
   • x^3 + 3x^2 + 4x + 1.
3. Теперь мы можем попробовать разложить полученное выражение:
4. Ищем корни:
   • Подставим x = -1:
   • (-1)^3 + 3(-1)^2 + 4(-1) + 1 = -1 + 3 - 4 + 1 = -1. (не корень)
   • Подставим x = 0:
   • 0^3 + 3*0^2 + 4*0 + 1 = 1. (не корень)
   • Подставим x = -1/2:
   • (-1/2)^3 + 3(-1/2)^2 + 4(-1/2) + 1 = -1/8 + 3/4 - 2 + 1 = 0. (корень)
5. Теперь мы можем использовать деление многочленов:
   • Разделим x^3 + 3x^2 + 4x + 1 на (x + 1/2).
   • После деления мы получим: (x + 1/2)(x^2 + 2x + 2).
6. Теперь разложим x^2 + 2x + 2:
   • Это квадратный трёхчлен, у которого нет действительных корней (дискриминант меньше нуля).
   • Поэтому мы оставим его в виде (x^2 + 2x + 2).

Итак, окончательное разложение на множители будет:

(x + 1/2)(x^2 + 2x + 2).

Таким образом, мы разложили данное выражение на множители.