Как можно решить систему уравнений: 5(x+y)-3(xy)=10 и 4(xy)-(x+y)=15?

Математика 8 класс Системы уравнений решение системы уравнений система уравнений 8 класс математика 8 класс уравнения с двумя переменными методы решения уравнений Новый

Чтобы решить систему уравнений:

• 5(x+y) - 3(xy) = 10
• 4(xy) - (x+y) = 15

Мы начнем с того, что обозначим:

• A = x + y
• B = xy

Теперь перепишем уравнения в терминах A и B:

• 5A - 3B = 10
• 4B - A = 15

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 1) 5A - 3B = 10
• 2) 4B - A = 15

Решим первое уравнение относительно A:

1. 5A = 3B + 10
2. A = (3B + 10) / 5

Теперь подставим A из первого уравнения во второе уравнение:

1. 4B - ((3B + 10) / 5) = 15

Умножим все уравнение на 5, чтобы избавиться от дробей:

1. 20B - (3B + 10) = 75

Теперь упростим уравнение:

1. 20B - 3B - 10 = 75
2. 17B - 10 = 75
3. 17B = 85
4. B = 85 / 17
5. B = 5

Теперь подставим значение B обратно в выражение для A:

1. A = (3 * 5 + 10) / 5
2. A = (15 + 10) / 5
3. A = 25 / 5
4. A = 5

Теперь у нас есть значения A и B:

• A = 5
• B = 5

Теперь мы можем найти x и y. Напомним, что A = x + y и B = xy. Это означает, что:

• x + y = 5
• xy = 5

Теперь мы можем выразить y через x:

1. y = 5 - x

Подставим это значение y в уравнение для B:

1. x(5 - x) = 5
2. 5x - x^2 = 5
3. x^2 - 5x + 5 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

1. D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * 5 = 25 - 20 = 5

Так как D > 0, у уравнения два различных корня:

1. x1 = (5 + √5) / 2
2. x2 = (5 - √5) / 2

Теперь найдем соответствующие значения y:

1. y1 = 5 - x1 = 5 - (5 + √5) / 2 = (5 - √5) / 2
2. y2 = 5 - x2 = 5 - (5 - √5) / 2 = (5 + √5) / 2

Таким образом, у нас есть два решения для системы уравнений:

• (x1, y1) = ((5 + √5) / 2, (5 - √5) / 2)
• (x2, y2) = ((5 - √5) / 2, (5 + √5) / 2)

Это и есть окончательные решения системы уравнений.