Как можно решить систему уравнений графически и аналитически: 7x - 2y = 1 и 5x + 3y = 14?

Математика 8 класс Системы линейных уравнений система уравнений графическое решение аналитическое решение 7x - 2y = 1 5x + 3y = 14 математика 8 класс методы решения координатная плоскость пересечение графиков алгебраические методы Новый

АНАЛИТИЧЕСКИ: Начнем с того, что у нас есть система уравнений:

• 7x - 2y = 1
• 5x + 3y = 14

Для удобства, мы можем умножить каждое из уравнений на определенные числа, чтобы упростить их решение. Умножим первое уравнение на 3, а второе - на 2:

• 3 * (7x - 2y) = 3 * 1, что дает нам 21x - 6y = 3;
• 2 * (5x + 3y) = 2 * 14, что дает нам 10x + 6y = 28.

Теперь у нас есть новая система уравнений:

• 21x - 6y = 3
• 10x + 6y = 28

Теперь мы можем сложить эти два уравнения. Заметим, что коэффициенты перед y в обоих уравнениях равны по модулю и противоположны по знаку, поэтому при сложении они взаимно уничтожатся:

21x - 6y + 10x + 6y = 3 + 28, что упрощается до:

31x = 31.

Теперь делим обе стороны на 31:

x = 1.

Теперь подставим найденное значение x в одно из уравнений, например, в первое:

7 * 1 - 2y = 1.

Это упростится до:

-2y = 1 - 7, или -2y = -6.

Теперь делим обе стороны на -2:

y = 3.

Таким образом, мы нашли решение системы: (1; 3).

ГРАФИЧЕСКИ: Теперь давайте рассмотрим графическое решение этой системы. Для этого начнем с того, чтобы выразить y через x в каждом уравнении.

• Из первого уравнения 7x - 2y = 1 выразим y:

2y = 7x - 1, или y = 3.5x - 0.5.

• Из второго уравнения 5x + 3y = 14 также выразим y:

3y = -5x + 14, или y = -5/3 * x + 14/3.

Теперь у нас есть два линейных уравнения, которые мы можем изобразить на координатной плоскости.

Для построения графиков каждого из уравнений возьмем по две точки:

• Для первого уравнения y = 3.5x - 0.5, например, когда x = 0, y = -0.5; и когда x = 1, y = 3.
• Для второго уравнения y = -5/3 * x + 14/3, например, когда x = 0, y = 14/3 (примерно 4.67); и когда x = 3, y = -1.

Теперь мы можем отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямые. Они пересекутся в точке (1; 3), что подтверждает наше аналитическое решение.

Таким образом, мы получили одно и то же решение (1; 3) как аналитически, так и графически.