Как можно упростить выражение x³-3x²+2, деленное на x³-4x²+3?

Математика 8 класс Упрощение дробей Упрощение выражения математика 8 класс дроби алгебра x³-3x²+2 x³-4x²+3 деление многочленов решение уравнений Новый

Чтобы упростить выражение (x³ - 3x² + 2) / (x³ - 4x² + 3), нам нужно сначала разложить числитель и знаменатель на множители. Это поможет нам увидеть, можно ли сократить дробь.

Шаг 1: Разложение числителя

Рассмотрим числитель x³ - 3x² + 2. Мы можем попробовать найти корни этого полинома с помощью подбора. Попробуем подставить различные значения x:

• Для x = 1: 1³ - 3*1² + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 (корень)
• Для x = 2: 2³ - 3*2² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 (не корень)
• Для x = -1: (-1)³ - 3*(-1)² + 2 = -1 - 3 + 2 = -2 (не корень)

Таким образом, x = 1 является корнем. Теперь мы можем использовать деление многочленов, чтобы разложить полином:

Делим x³ - 3x² + 2 на (x - 1):

1. x³ делим на x: получаем x².
2. Умножаем x² на (x - 1): получаем x³ - x².
3. Вычитаем: (x³ - 3x² + 2) - (x³ - x²) = -2x² + 2.
4. Делим -2x² на x: получаем -2x.
5. Умножаем -2x на (x - 1): получаем -2x² + 2x.
6. Вычитаем: (-2x² + 2) - (-2x² + 2x) = -2 + 2x.
7. Делим 2x на x: получаем 2.
8. Умножаем 2 на (x - 1): получаем 2x - 2.
9. Вычитаем: (2x - 2) - (2x - 2) = 0.

Таким образом, числитель можно записать как (x - 1)(x² - 2x - 2).

Шаг 2: Разложение знаменателя

Теперь рассмотрим знаменатель x³ - 4x² + 3. Попробуем найти его корни аналогичным образом:

• Для x = 1: 1³ - 4*1² + 3 = 1 - 4 + 3 = 0 (корень)
• Для x = 3: 3³ - 4*3² + 3 = 27 - 36 + 3 = -6 (не корень)
• Для x = -1: (-1)³ - 4*(-1)² + 3 = -1 - 4 + 3 = -2 (не корень)

Таким образом, x = 1 также является корнем для знаменателя. Разложим его:

Делим x³ - 4x² + 3 на (x - 1):

1. x³ делим на x: получаем x².
2. Умножаем x² на (x - 1): получаем x³ - x².
3. Вычитаем: (x³ - 4x² + 3) - (x³ - x²) = -3x² + 3.
4. Делим -3x² на x: получаем -3x.
5. Умножаем -3x на (x - 1): получаем -3x² + 3x.
6. Вычитаем: (-3x² + 3) - (-3x² + 3x) = -3 + 3x.
7. Делим 3x на x: получаем 3.
8. Умножаем 3 на (x - 1): получаем 3x - 3.
9. Вычитаем: (3x - 3) - (3x - 3) = 0.

Таким образом, знаменатель можно записать как (x - 1)(x² - 3x + 3).

Шаг 3: Упрощение дроби

Теперь мы можем подставить разложенные формы числителя и знаменателя в дробь:

(x - 1)(x² - 2x - 2) / (x - 1)(x² - 3x + 3).

Мы видим, что (x - 1) в числителе и знаменателе можно сократить, при условии, что x не равен 1 (иначе дробь будет неопределенной):

Остается выражение:

(x² - 2x - 2) / (x² - 3x + 3).

Ответ: Упрощенное выражение: (x² - 2x - 2) / (x² - 3x + 3), при условии, что x ≠ 1.