Как найти длины сторон прямоугольного треугольника, если один катет меньше гипотенузы на 1 см, а другой катет меньше гипотенузы на 2 см?

Математика 8 класс Прямоугольные треугольники длина сторон прямоугольный треугольник катеты гипотенуза задача по математике решение треугольника свойства треугольника Новый

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Давайте обозначим гипотенузу как c, первый катет как a, а второй катет как b.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие соотношения:

• Катет a меньше гипотенузы c на 1 см: a = c - 1
• Катет b меньше гипотенузы c на 2 см: b = c - 2

Теперь подставим выражения для a и b в теорему Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2

Подставляем значения:

• (c - 1)^2 + (c - 2)^2 = c^2

Теперь раскроем скобки:

• (c^2 - 2c + 1) + (c^2 - 4c + 4) = c^2

Сложим подобные слагаемые:

• c^2 - 2c + 1 + c^2 - 4c + 4 = c^2
• 2c^2 - 6c + 5 = c^2

Теперь перенесем c^2 на левую сторону уравнения:

• 2c^2 - c^2 - 6c + 5 = 0
• c^2 - 6c + 5 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Для его решения можем воспользоваться формулой дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -6, c = 5

Считаем дискриминант:

• D = (-6)^2 - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16

Теперь находим корни уравнения:

• c = (6 ± √D) / 2a
• c = (6 ± 4) / 2

Это дает нам два возможных значения для c:

• c1 = (6 + 4) / 2 = 10 / 2 = 5
• c2 = (6 - 4) / 2 = 2 / 2 = 1

Поскольку гипотенуза не может быть меньше катетов, выберем c = 5.

Теперь найдем катеты:

• a = c - 1 = 5 - 1 = 4
• b = c - 2 = 5 - 2 = 3

Таким образом, длины сторон прямоугольного треугольника:

• Гипотенуза (c) = 5 см
• Первый катет (a) = 4 см
• Второй катет (b) = 3 см