Как разложить многочлен на множители?

1. А) а^4+2а^3+а^2
2. Б) а^3b^2-2a^2b^3+ab^4
3. В) 4a+4b-ay^2-by^2
4. Г) а-2b-a^3-2ab
5. Д) 6a-6b-5b^2+5ab
6. Е) a^2+6a+9-b^2

Математика 8 класс Разложение многочленов на множители разложение многочлена многочлен на множители математические задачи 8 класс Новый

Разложение многочлена на множители - это процесс нахождения множителей, которые в произведении дают данный многочлен. Давайте рассмотрим каждый из предложенных многочленов по отдельности.

А) a^4 + 2a^3 + a^2

Шаг 1: Найдем общий множитель. Все члены многочлена содержат a^2. Выделим его:

a^2(a^2 + 2a + 1)

Шаг 2: Теперь упростим скобки. Мы видим, что a^2 + 2a + 1 - это полный квадрат:

a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2

Шаг 3: Записываем окончательный ответ:

a^2(a + 1)^2

Б) a^3b^2 - 2a^2b^3 + ab^4

Шаг 1: Найдем общий множитель. Здесь мы можем выделить ab^2:

ab^2(a^2 - 2ab + b^2)

Шаг 2: Теперь упростим скобки. Мы видим, что a^2 - 2ab + b^2 - это полный квадрат:

a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2

Шаг 3: Записываем окончательный ответ:

ab^2(a - b)^2

В) 4a + 4b - ay^2 - by^2

Шаг 1: Найдем общий множитель. Мы можем выделить 4 и -y^2:

4(a + b) - y^2(a + b)

Шаг 2: Теперь вынесем общий множитель (a + b):

(a + b)(4 - y^2)

Шаг 3: Записываем окончательный ответ:

(a + b)(4 - y^2)

Г) a - 2b - a^3 - 2ab

Шаг 1: Перепишем многочлен, чтобы выделить общий множитель:

-a^3 + a - 2b - 2ab

Шаг 2: Вынесем -1:

-1(a^3 - a + 2b + 2ab)

Шаг 3: Объединим и упростим:

-1(a^3 - a + 2b(1 + a))

Шаг 4: Окончательный ответ:

-1(a^3 - a + 2b(1 + a))

Д) 6a - 6b - 5b^2 + 5ab

Шаг 1: Найдем общий множитель. Мы можем выделить 1 и 5:

6a - 6b + 5ab - 5b^2

Шаг 2: Вынесем 1 и 5:

1(6a - 6b) + 5(ab - b^2)

Шаг 3: Объединим и упростим:

6(a - b) + 5b(a - b)

Шаг 4: Вынесем общий множитель (a - b):

(a - b)(6 + 5b)

Шаг 5: Окончательный ответ:

(a - b)(6 + 5b)

Е) a^2 + 6a + 9 - b^2

Шаг 1: Обратим внимание, что a^2 + 6a + 9 - это полный квадрат:

Это можно записать как (a + 3)^2 - b^2

Шаг 2: Теперь мы видим, что это разность квадратов и можем использовать формулу:

(x^2 - y^2) = (x - y)(x + y)

Здесь x = (a + 3) и y = b:

Шаг 3: Записываем окончательный ответ:

((a + 3) - b)((a + 3) + b)

Таким образом, мы успешно разложили все многочлены на множители.