Как решить систему уравнений:

1. |x| + 2|y| = 3
2. 5y + 7x = 2

Методическое указание: Используйте определение абсолютной величины.

Математика 8 класс Системы уравнений решение системы уравнений абсолютная величина математика 8 класс уравнения с модулями методы решения уравнений Новый

Чтобы решить систему уравнений, состоящую из уравнения с абсолютными величинами и линейного уравнения, сначала разберем каждое уравнение отдельно.

Система уравнений выглядит так:

• |x| + 2|y| = 3
• 5y + 7x = 2

Начнем с первого уравнения: |x| + 2|y| = 3. Здесь мы имеем две абсолютные величины, поэтому необходимо рассмотреть несколько случаев в зависимости от знаков x и y.

Шаг 1: Разбор случаев

Рассмотрим все возможные комбинации знаков для x и y:

1. Случай 1: x ≥ 0, y ≥ 0
2. Случай 2: x ≥ 0, y < 0
3. Случай 3: x < 0, y ≥ 0
4. Случай 4: x < 0, y < 0

Теперь запишем уравнение для каждого случая:

• Случай 1: x + 2y = 3
• Случай 2: x - 2y = 3
• Случай 3: -x + 2y = 3
• Случай 4: -x - 2y = 3

Шаг 2: Решение каждого случая

Теперь мы будем решать каждое из этих уравнений вместе с уравнением 5y + 7x = 2.

Случай 1: x + 2y = 3

Из этого уравнения выразим y:

• 2y = 3 - x
• y = (3 - x)/2

Подставляем y в уравнение 5y + 7x = 2:

• 5((3 - x)/2) + 7x = 2
• 15 - 5x + 14x = 4
• 9x = -11
• x = -11/9

Это значение x не подходит для случая 1, так как x должен быть неотрицательным.

Случай 2: x - 2y = 3

Из этого уравнения выразим y:

• -2y = 3 - x
• y = (x - 3)/2

Подставляем в уравнение 5y + 7x = 2:

• 5((x - 3)/2) + 7x = 2
• (5x - 15)/2 + 7x = 2
• 5x - 15 + 14x = 4
• 19x = 19
• x = 1

Теперь подставим x = 1 в y:

• y = (1 - 3)/2 = -1

Решение: (1, -1). Это подходит для случая 2.

Случай 3: -x + 2y = 3

Решим аналогично:

• 2y = 3 + x
• y = (3 + x)/2

Подставляем в 5y + 7x = 2:

• 5((3 + x)/2) + 7x = 2
• (15 + 5x)/2 + 7x = 2
• 15 + 5x + 14x = 4
• 19x = -11
• x = -11/19

Это значение x не подходит для случая 3.

Случай 4: -x - 2y = 3

Решим аналогично:

• -2y = 3 + x
• y = -(3 + x)/2

Подставляем в 5y + 7x = 2:

• 5(-(3 + x)/2) + 7x = 2
• (-15 - 5x)/2 + 7x = 2
• -15 - 5x + 14x = 4
• 9x = 19
• x = 19/9

Это значение x не подходит для случая 4.

Шаг 3: Подводим итоги

Единственное решение, которое удовлетворяет системе уравнений, это (1, -1). Таким образом, ответ:

(x, y) = (1, -1)