Как решить систему уравнений: x+y=31 и x²-y²=21? Прошу по подробнее.
Математика 8 класс Системы уравнений решение системы уравнений x+y=31 x²-y²=21 подробное решение математика 8 класс алгебра системы уравнений Новый
Чтобы решить систему уравнений:
Сначала заметим, что второе уравнение x² - y² можно представить в виде разности квадратов. Это можно записать как:
x² - y² = (x + y)(x - y)
Теперь подставим первое уравнение (1) в это выражение. Из (1) мы знаем, что x + y = 31. Подставим это значение:
(x + y)(x - y) = 21
31(x - y) = 21
Теперь решим это уравнение относительно x - y:
x - y = 21 / 31
x - y = 21/31
Теперь у нас есть два уравнения:
Теперь мы можем решить эту систему уравнений методом сложения. Сложим оба уравнения:
(x + y) + (x - y) = 31 + 21/31
Это упростится до:
2x = 31 + 21/31
Чтобы сложить 31 и 21/31, переведем 31 в дробь с тем же знаменателем:
31 = 31 * 31/31 = 961/31
Теперь можем сложить:
2x = 961/31 + 21/31 = (961 + 21) / 31 = 982/31
Теперь разделим обе стороны на 2:
x = (982/31) / 2 = 982 / (31 * 2) = 982 / 62 = 491 / 31
Теперь, когда мы нашли x, подставим его обратно в одно из уравнений, чтобы найти y. Подставим в первое уравнение:
x + y = 31
(491 / 31) + y = 31
Теперь выразим y:
y = 31 - (491 / 31)
Чтобы вычесть дробь, переведем 31 в дробь с тем же знаменателем:
y = (31 * 31) / 31 - (491 / 31) = (961 - 491) / 31 = 470 / 31
Теперь у нас есть значения для x и y:
Таким образом, решение системы уравнений: