Как решить систему уравнений: x+y=31 и x²-y²=21? Прошу по подробнее.

Математика 8 класс Системы уравнений решение системы уравнений x+y=31 x²-y²=21 подробное решение математика 8 класс алгебра системы уравнений Новый

Чтобы решить систему уравнений:

• x + y = 31 (1)
• x² - y² = 21 (2)

Сначала заметим, что второе уравнение x² - y² можно представить в виде разности квадратов. Это можно записать как:

x² - y² = (x + y)(x - y)

Теперь подставим первое уравнение (1) в это выражение. Из (1) мы знаем, что x + y = 31. Подставим это значение:

(x + y)(x - y) = 21

31(x - y) = 21

Теперь решим это уравнение относительно x - y:

x - y = 21 / 31

x - y = 21/31

Теперь у нас есть два уравнения:

• x + y = 31
• x - y = 21/31

Теперь мы можем решить эту систему уравнений методом сложения. Сложим оба уравнения:

(x + y) + (x - y) = 31 + 21/31

Это упростится до:

2x = 31 + 21/31

Чтобы сложить 31 и 21/31, переведем 31 в дробь с тем же знаменателем:

31 = 31 * 31/31 = 961/31

Теперь можем сложить:

2x = 961/31 + 21/31 = (961 + 21) / 31 = 982/31

Теперь разделим обе стороны на 2:

x = (982/31) / 2 = 982 / (31 * 2) = 982 / 62 = 491 / 31

Теперь, когда мы нашли x, подставим его обратно в одно из уравнений, чтобы найти y. Подставим в первое уравнение:

x + y = 31

(491 / 31) + y = 31

Теперь выразим y:

y = 31 - (491 / 31)

Чтобы вычесть дробь, переведем 31 в дробь с тем же знаменателем:

y = (31 * 31) / 31 - (491 / 31) = (961 - 491) / 31 = 470 / 31

Теперь у нас есть значения для x и y:

• x = 491 / 31
• y = 470 / 31

Таким образом, решение системы уравнений:

• x = 491/31
• y = 470/31