Как решить уравнение с модулем: |3 - |2 - |х|| = 2?

Математика 8 класс Уравнения с модулем решение уравнения с модулем уравнение с модулем модуль в математике как решить уравнение математика 8 класс Новый

Чтобы решить уравнение с модулем |3 - |2 - |х|| = 2, давайте разберемся шаг за шагом.

Сначала вспомним, что модуль числа |a| равен a, если a >= 0, и -a, если a < 0. Это важно для нашего уравнения, так как оно содержит вложенные модули.

Шаг 1: Уберем внешний модуль, рассмотрев два случая:

1. Случай 1: 3 - |2 - |х|| >= 0
2. Случай 2: 3 - |2 - |х|| < 0

Решим первый случай:

1.1. Если 3 - |2 - |х|| >= 0, то |3 - |2 - |х|| = 3 - |2 - |х|.

Таким образом, уравнение становится:

3 - |2 - |х|| = 2

1.2. Переносим |2 - |х|| на правую сторону:

|2 - |х|| = 3 - 2

|2 - |х|| = 1

Теперь снова рассматриваем два случая для модуля |2 - |х||:

1. Случай 1.1: 2 - |х| >= 0
2. Случай 1.2: 2 - |х| < 0

Решим случай 1.1:

1.1.1. Если 2 - |х| >= 0, то |2 - |х|| = 2 - |х|. Уравнение становится:

2 - |х| = 1

Переносим |х| на правую сторону:

|х| = 2 - 1

|х| = 1

Теперь решим это уравнение:

1. х = 1
2. х = -1

Решения из первого случая: х = 1 и х = -1.

Теперь рассмотрим случай 1.2:

1.2.1. Если 2 - |х| < 0, то |2 - |х|| = - (2 - |х|) = |х| - 2. Уравнение становится:

|х| - 2 = 1

Переносим 2 на правую сторону:

|х| = 1 + 2

|х| = 3

Решения:

1. х = 3
2. х = -3

Теперь у нас есть 4 решения из первого случая: х = 1, х = -1, х = 3, х = -3.

Шаг 2: Теперь рассмотрим второй случай, когда 3 - |2 - |х|| < 0:

2.1. В этом случае |3 - |2 - |х|| = - (3 - |2 - |х|) = |2 - |х| - 3.

Уравнение становится:

|2 - |х| - 3| = 2

Теперь снова рассматриваем два случая:

1. Случай 2.1: 2 - |х| - 3 >= 0
2. Случай 2.2: 2 - |х| - 3 < 0

Решим случай 2.1:

2.1.1. Если 2 - |х| - 3 >= 0, то |2 - |х| - 3| = 2 - |х| - 3. Уравнение становится:

2 - |х| - 3 = 2

Переносим 2 на правую сторону:

-|х| - 1 = 2

Это уравнение не имеет решений, так как левая часть всегда отрицательна.

Теперь рассмотрим случай 2.2:

2.2.1. Если 2 - |х| - 3 < 0, то |2 - |х| - 3| = - (2 - |х| - 3) = |х| + 1. Уравнение становится:

|х| + 1 = 2

Переносим 1 на правую сторону:

|х| = 2 - 1

|х| = 1

Решения:

1. х = 1
2. х = -1

Эти решения совпадают с решениями из первого случая.

Итак, обобщая все найденные решения, мы получаем:

Ответ: х = 1, х = -1, х = 3, х = -3.