Как решить задачу с помощью системы уравнений, если расстояние между городами А и В равно 120 км? Из города А в город В вышел автобус, а через 15 минут – легковая машина, скорость которой больше скорости автобуса на 12 км/ч. Легковая машина пришла в город В на 5 минут раньше, чем автобус. Как найти скорости автобуса и легковой машины?

Математика 8 класс Системы уравнений система уравнений задача на движение скорость автобуса скорость легковой машины расстояние между городами решение задачи время в пути математическая задача Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать систему уравнений. Давайте обозначим скорость автобуса как v (в км/ч). Тогда скорость легковой машины будет v + 12 (в км/ч), так как она на 12 км/ч быстрее автобуса.

Теперь давайте определим время, которое каждый транспорт проводит в пути. Поскольку расстояние между городами А и В составляет 120 км, мы можем использовать формулу для времени:

время = расстояние / скорость

Автобус выехал первым и проехал 120 км со скоростью v. Время, которое он затратит на путь, будет:

• t_автобуса = 120 / v

Легковая машина выехала через 15 минут (или 0,25 часа) после автобуса и приехала на 5 минут (или 1/12 часа) раньше. Таким образом, время, которое легковая машина затратит на путь, будет:

• t_легковушки = 120 / (v + 12)

Так как легковая машина приехала на 5 минут раньше, то время в пути автобуса на 5 минут больше, чем время в пути легковой машины плюс 15 минут ожидания:

• t_автобуса = t_легковушки + 0,25 + 1/12

Теперь подставим наши выражения для времени в это уравнение:

• 120 / v = 120 / (v + 12) + 0,25 + 1/12

Теперь решим это уравнение. Сначала найдем общий знаменатель для 0,25 и 1/12:

• 0,25 = 3/12
• Таким образом, 0,25 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3

Теперь у нас есть:

• 120 / v = 120 / (v + 12) + 1/3

Умножим всё уравнение на 3v(v + 12), чтобы избавиться от дробей:

• 3v(v + 12) * (120 / v) = 3v(v + 12) * (120 / (v + 12)) + 3v(v + 12) * (1/3)

Упростим каждую часть:

• 360(v + 12) = 360v + v(v + 12)

Раскроем скобки:

• 360v + 4320 = 360v + v^2 + 12v

Теперь уберем 360v с обеих сторон:

• 4320 = v^2 + 12v

Переносим всё в одну сторону:

• v^2 + 12v - 4320 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 * 1 * (-4320) = 144 + 17280 = 17424

Теперь находим корни уравнения:

• v = (-b ± √D) / 2a = (-12 ± √17424) / 2

Посчитаем корни:

• √17424 ≈ 132
• v1 = (-12 + 132) / 2 = 60
• v2 = (-12 - 132) / 2 = -72 (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)

Таким образом, скорость автобуса v = 60 км/ч. Теперь найдем скорость легковой машины:

• v + 12 = 60 + 12 = 72 км/ч

В итоге, скорость автобуса составляет 60 км/ч, а скорость легковой машины 72 км/ч.