Какое натуральное число N существует, при котором сумма N и 37, а также разность N и 46 являются полными квадратами?

Математика 8 класс Квадратные уравнения натуральное число сумма разность полные квадраты математика 8 класс Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом. Нам нужно найти натуральное число N, такое что:

• Сумма N и 37 является полным квадратом, то есть N + 37 = k^2 для некоторого натурального числа k.
• Разность N и 46 также является полным квадратом, то есть N - 46 = m^2 для некоторого натурального числа m.

Теперь запишем оба условия в виде уравнений:

1. Первое уравнение: N + 37 = k^2
2. Второе уравнение: N - 46 = m^2

Теперь выразим N из каждого уравнения:

• Из первого уравнения: N = k^2 - 37
• Из второго уравнения: N = m^2 + 46

Теперь мы можем приравнять оба выражения для N:

k^2 - 37 = m^2 + 46

Перепишем это уравнение:

k^2 - m^2 = 46 + 37

k^2 - m^2 = 83

Теперь мы можем использовать разность квадратов:

(k - m)(k + m) = 83

Число 83 является простым числом, поэтому его делителями являются 1 и 83. Рассмотрим два случая:

1. k - m = 1 и k + m = 83
2. k - m = 83 и k + m = 1 (но это невозможно, так как k и m - натуральные числа)

Решим первый случай:

• k - m = 1
• k + m = 83

Теперь сложим эти два уравнения:

2k = 84, следовательно, k = 42.

Теперь подставим значение k в одно из уравнений, чтобы найти m:

42 - m = 1, отсюда m = 41.

Теперь подставим значения k и m обратно в одно из выражений для N:

N = k^2 - 37 = 42^2 - 37 = 1764 - 37 = 1727.

Проверим, соответствует ли N = 1727 условиям задачи:

• Сумма: 1727 + 37 = 1764, что является полным квадратом (42^2).
• Разность: 1727 - 46 = 1681, что также является полным квадратом (41^2).

Таким образом, найденное натуральное число N = 1727 является решением данной задачи.