Какое время нужно трем бригадам, работающим совместно, для постройки коттеджа, если первая и вторая бригады выполняют эту задачу за 12 месяцев, вторая и третья - за 10 месяцев, а первая и третья - за 15 месяцев?

Математика 8 класс Системы уравнений время постройки коттеджа три бригады совместная работа математика 8 класс задачи на работу система уравнений решение задач бригадная работа скорость работы бригад время выполнения задачи Новый

Для решения этой задачи давайте обозначим:

• A - производительность первой бригады (коттедж в месяцах),
• B - производительность второй бригады (коттедж в месяцах),
• C - производительность третьей бригады (коттедж в месяцах).

Теперь запишем уравнения на основе данных условий:

• Первая и вторая бригады строят коттедж за 12 месяцев: 1/(A + B) = 12, что означает A + B = 1/12.
• Вторая и третья бригады строят коттедж за 10 месяцев: 1/(B + C) = 10, что означает B + C = 1/10.
• Первая и третья бригады строят коттедж за 15 месяцев: 1/(A + C) = 15, что означает A + C = 1/15.

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

1. A + B = 1/12,
2. B + C = 1/10,
3. A + C = 1/15.

Мы можем выразить A, B и C через одно переменное. Например, выразим A из первого уравнения:

A = 1/12 - B.

Теперь подставим это значение A в третье уравнение:

(1/12 - B) + C = 1/15.

Перепишем это уравнение:

C = 1/15 - (1/12 - B).

Упрощая, получим:

C = B + 1/15 - 1/12.

Теперь найдем общий знаменатель для 1/15 и 1/12, который равен 60:

1/15 = 4/60 и 1/12 = 5/60, тогда:

C = B + 4/60 - 5/60 = B - 1/60.

Теперь подставим C в уравнение B + C = 1/10:

B + (B - 1/60) = 1/10.

Упрощая, получим:

2B - 1/60 = 1/10.

Переписываем 1/10 в виде дроби с знаменателем 60:

1/10 = 6/60, тогда:

2B - 1/60 = 6/60.

Теперь добавим 1/60 к обеим частям:

2B = 6/60 + 1/60 = 7/60.

Теперь разделим обе стороны на 2:

B = 7/120.

Теперь, зная B, можем найти A и C:

A = 1/12 - B = 1/12 - 7/120 = 10/120 - 7/120 = 3/120 = 1/40.

C = B - 1/60 = 7/120 - 1/60 = 7/120 - 2/120 = 5/120 = 1/24.

Теперь у нас есть производительности всех бригад:

• A = 1/40 (коттедж в 40 месяцев),
• B = 7/120 (коттедж в 120/7 месяцев),
• C = 1/24 (коттедж в 24 месяца).

Теперь найдем общую производительность всех трех бригад:

Общая производительность = A + B + C = 1/40 + 7/120 + 1/24.

Найдём общий знаменатель для 40, 120 и 24, который равен 120:

• 1/40 = 3/120,
• 7/120 = 7/120,
• 1/24 = 5/120.

Теперь складываем:

Общая производительность = 3/120 + 7/120 + 5/120 = 15/120 = 1/8.

Это означает, что все три бригады вместе строят коттедж за 8 месяцев.

Ответ: 8 месяцев.