Какова длина большего катета прямоугольного треугольника, если проекции его катетов на гипотенузу составляют 18 см и 6 см?

Математика 8 класс Прямоугольные треугольники длина большего катета прямоугольный треугольник проекции катетов гипотенуза задачи по математике Новый

Для решения данной задачи нам нужно воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и его проекциями на гипотенузу.

Обозначим:

• a - длина первого катета, проекция которого на гипотенузу равна 18 см;
• b - длина второго катета, проекция которого на гипотенузу равна 6 см;
• c - длина гипотенузы.

Согласно теореме о проекциях катетов на гипотенузу, проекции катетов на гипотенузу равны:

• проекция первого катета на гипотенузу: a * cos(α) = 18 см;
• проекция второго катета на гипотенузу: b * cos(β) = 6 см.

Где α и β - углы между катетами и гипотенузой. Но также мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника:

Согласно свойству, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a² + b² = c²

Также мы знаем, что:

c = a sin(α) + b sin(β)

Однако, в данной задаче проще воспользоваться тем, что длина гипотенузы будет равна сумме проекций катетов:

c = 18 см + 6 см = 24 см

Теперь мы можем найти длины катетов, используя теорему Пифагора:

a² + b² = c²

Подставим значение c:

a² + b² = 24² = 576

Теперь нам нужно выразить a и b через их проекции:

• Проекция первого катета: a * cos(α) = 18 см;
• Проекция второго катета: b * cos(β) = 6 см.

Из этого следует, что:

• a = 18 / cos(α);
• b = 6 / cos(β).

Теперь подставим a и b в уравнение:

(18 / cos(α))² + (6 / cos(β))² = 576

Однако, для нахождения катетов нам не обязательно находить углы α и β. Мы можем использовать соотношение между проекциями и катетами:

Так как проекция большего катета больше, то:

a = 18 см и b = 6 см.

Таким образом, длина большего катета равна 18 см.