Какова длина второго катета прямоугольного треугольника, если один из катетов на 2 см длиннее другого, а гипотенуза составляет 10 см?

Математика 8 класс Прямоугольные треугольники длина второго катета прямоугольный треугольник гипотенуза 10 см катеты треугольника задача по математике Новый

Чтобы найти длину второго катета прямоугольного треугольника, воспользуемся теоремой Пифагора. Эта теорема утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Обозначим катеты как:

• Первый катет - x см.
• Второй катет - (x + 2) см, так как один из катетов на 2 см длиннее другого.

Гипотенуза равна 10 см. Теперь можем записать уравнение по теореме Пифагора:

x² + (x + 2)² = 10²

Теперь разложим уравнение:

1. Сначала найдем квадрат второго катета:
• (x + 2)² = x² + 4x + 4.
2. Теперь подставим это в уравнение:
• x² + (x² + 4x + 4) = 100.
3. Объединим подобные члены:
• 2x² + 4x + 4 = 100.
4. Переносим 100 влево:
• 2x² + 4x + 4 - 100 = 0.
• 2x² + 4x - 96 = 0.
5. Упростим уравнение, разделив все на 2:
• x² + 2x - 48 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Где a = 1, b = 2, c = -48. Подставляем значения:

1. Находим дискриминант:
• D = b² - 4ac = 2² - 4*1*(-48) = 4 + 192 = 196.
2. Теперь находим корни:
• x = (-2 ± √196) / 2*1 = (-2 ± 14) / 2.

Это дает нам два возможных значения для x:

• x = (12) / 2 = 6 (положительное значение).
• x = (-16) / 2 = -8 (отрицательное значение, не подходит).

Таким образом, первый катет равен 6 см. Теперь найдем второй катет:

Второй катет = x + 2 = 6 + 2 = 8 см.

Итак, длина второго катета прямоугольного треугольника составляет 8 см.