Похожие вопросы
2025-01-10 02:11:29
Каковы два числа, если разность их квадратов равна 100, а если из утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получится 30?
Математика 8 класс Системы уравнений разность квадратов два числа утроенное первое число удвоенное второе число математическая задача решение уравнений алгебра 8 класс
2025-01-10 02:11:45
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим два числа как x и y. У нас есть две условия:
- Разность квадратов этих чисел равна 100: x^2 - y^2 = 100.
- Если из утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получится 30: 3x - 2y = 30.
Теперь мы можем решить эту систему уравнений.
Первое уравнение можно переписать с использованием формулы разности квадратов:
(x - y)(x + y) = 100Теперь давайте выразим y из второго уравнения:
3x - 2y = 30Отсюда:
2y = 3x - 30Следовательно, y = (3x - 30) / 2.
Теперь подставим это значение y в первое уравнение:
x^2 - ((3x - 30) / 2)^2 = 100.Теперь упростим это уравнение:
x^2 - (9x^2 - 180x + 900) / 4 = 100.Умножим всё уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:
4x^2 - (9x^2 - 180x + 900) = 400.Раскроем скобки:
4x^2 - 9x^2 + 180x - 900 = 400.Соберем все члены в одном уравнении:
-5x^2 + 180x - 1300 = 0.Умножим уравнение на -1 для упрощения:
5x^2 - 180x + 1300 = 0.Теперь применим дискриминант для решения квадратного уравнения:
D = b^2 - 4ac = (-180)^2 - 4 * 5 * 1300.Вычислим дискриминант:
D = 32400 - 26000 = 6400.Теперь найдем корни уравнения:
x = (180 ± √6400) / (2 * 5).Корень из 6400 равен 80:
x = (180 ± 80) / 10.Таким образом, у нас есть два значения для x:
- x1 = (180 + 80) / 10 = 26
- x2 = (180 - 80) / 10 = 10
Теперь подставим найденные значения x обратно в уравнение для y:
Для x = 26:
y = (3 * 26 - 30) / 2 = (78 - 30) / 2 = 24.Для x = 10:
y = (3 * 10 - 30) / 2 = (30 - 30) / 2 = 0.Таким образом, мы получили два возможных решения:
- Первое решение: (x, y) = (26, 24).
- Второе решение: (x, y) = (10, 0).
Ответ: два числа могут быть 26 и 24, или 10 и 0.
