Похожие вопросы
2025-08-29 12:52:55
Какую дробь можно получить, если числитель несократимой дроби на 3 меньше знаменателя, и если к числителю прибавить 5, а из знаменателя вычесть 4, то новая дробь будет в 4 раза больше первоначальной?
Математика 8 класс Уравнения с дробями дробь несократимая дробь числитель знаменатель математическая задача дробные числа уравнение решение задачи пропорции алгебраические выражения
2025-08-29 12:53:32
Давайте обозначим числитель несократимой дроби как x, а знаменатель как y. Из условия задачи мы знаем следующее:
- Числитель на 3 меньше знаменателя: x = y - 3.
- Если к числителю прибавить 5, а из знаменателя вычесть 4, новая дробь будет в 4 раза больше первоначальной: (x + 5) / (y - 4) = 4 * (x / y).
Теперь мы можем подставить выражение для x из первого уравнения во второе уравнение.
Подставим x = y - 3 в уравнение:
- Запишем второе уравнение: (x + 5) / (y - 4) = 4 * (x / y).
- Подставим x: ((y - 3) + 5) / (y - 4) = 4 * ((y - 3) / y).
- Упростим числитель: (y + 2) / (y - 4) = 4 * ((y - 3) / y).
Теперь умножим обе стороны уравнения на y(y - 4), чтобы избавиться от дробей:
- (y + 2) * y = 4 * (y - 3) * (y - 4).
- Раскроем скобки: y^2 + 2y = 4(y^2 - 7y + 12).
- Упрощаем правую часть: y^2 + 2y = 4y^2 - 28y + 48.
Теперь перенесем все в одну сторону:
- 0 = 4y^2 - 28y + 48 - y^2 - 2y.
- Соберем подобные: 0 = 3y^2 - 26y + 48.
Теперь решим квадратное уравнение 3y^2 - 26y + 48 = 0 с помощью дискриминанта:
- Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 * 3 * 48.
- Дискриминант равен: D = 676 - 576 = 100.
- Корни уравнения находим по формуле: y = ( -b ± sqrt(D) ) / (2a).
- Таким образом, y = (26 ± 10) / 6.
- Находим два значения: y1 = 6 и y2 = 2.67.
Так как дробь должна быть несократимой, подставим y = 6 в первое уравнение для нахождения x:
- x = y - 3 = 6 - 3 = 3.
Таким образом, исходная дробь равна 3/6, но она сокращается до 1/2. Если же мы проверим y = 2.67, мы получим дробь, которая не является целым числом, что не подходит для данной задачи.
Итак, ответ: несократимая дробь, соответствующая условиям задачи, это 1/2.