На доске 20×20 расположили 20 ферзей так, что они не угрожают друг другу. Как можно доказать, что в каждом угловом квадрате 10 × 10 находится хотя бы один ферзь?

Математика 8 класс Комбинаторная геометрия ферзи на доске задача о ферзях математика 8 класс доказательство ферзей квадрат 10 на 10 расположение ферзей шахматная задача комбинаторика математическая логика угловые квадраты Новый

Чтобы доказать, что в каждом угловом квадрате 10×10 находится хотя бы один ферзь, давайте рассмотрим следующие шаги:

1. Определение угловых квадратов: В доске 20×20 есть четыре угловых квадрата 10×10. Эти квадраты расположены в следующих углах:
• В левом верхнем углу (строки 1-10, столбцы 1-10)
• В правом верхнем углу (строки 1-10, столбцы 11-20)
• В левом нижнем углу (строки 11-20, столбцы 1-10)
• В правом нижнем углу (строки 11-20, столбцы 11-20)
2. Свойства ферзей: Ферзь на шахматной доске угрожает всем фигурам, находящимся на одной строке, одном столбце и по диагоналям. Это означает, что если ферзь находится в определённой строке или столбце, он контролирует все клетки в этих строках и столбцах.
3. Расположение ферзей: У нас есть 20 ферзей, и они размещены так, что не угрожают друг другу. Это значит, что каждый ферзь занимает уникальную строку и уникальный столбец. Таким образом, 20 ферзей занимают 20 различных строк и 20 различных столбцов.
4. Рассмотрение 10×10 квадратов: Каждый угловой квадрат 10×10 содержит 10 строк и 10 столбцов. Если бы в каком-то угловом квадрате не было ни одного ферзя, это означало бы, что все ферзи находятся в строках и столбцах, которые полностью охватывают оставшиеся угловые квадраты.
5. Противоречие: Поскольку у нас 20 строк и 20 столбцов, и каждый угловой квадрат 10×10 занимает половину строк и половину столбцов, если бы в одном угловом квадрате не было ферзей, это бы привело к тому, что оставшиеся ферзи заняли бы строки и столбцы, не оставляя места для других ферзей. Это противоречит условию, что все 20 ферзей размещены на доске.
6. Заключение: Таким образом, чтобы избежать этого противоречия, можно утверждать, что в каждом угловом квадрате 10×10 должен находиться хотя бы один ферзь.

В результате мы можем заключить, что в каждом угловом квадрате 10×10 действительно находится хотя бы один ферзь.