При каком наибольшем k можно утверждать, что при любой покраске в черный цвет k клеток белого прямоугольника 7×10 обязательно останется целиком белый квадрат 3×3 со сторонами, идущими по линиям сетки?

Математика 8 класс Комбинаторная геометрия математика 8 класс задача на комбинаторику покраска клеток белый квадрат 3x3 прямоугольник 7x10 максимальное количество клеток оставшийся белый квадрат условия задачи геометрические задачи квадрат в прямоугольнике Новый

Ответ: 32

Пошаговое объяснение:

Для решения этой задачи нам необходимо определить, сколько клеток можно покрасить в черный цвет, чтобы гарантировать наличие хотя бы одного целиком белого квадрата размером 3×3 в прямоугольнике размером 7×10.

1. Выясним количество клеток в прямоугольнике:

   Прямоугольник 7×10 состоит из 7 строк и 10 столбцов. Таким образом, общее количество клеток в этом прямоугольнике равно 7 умножить на 10, что равно 70.

2. Определим размер квадрата:

   Квадрат, который мы ищем, имеет размер 3×3. Это значит, что он занимает 3 строки и 3 столбца.

3. Посчитаем возможные позиции для квадрата 3×3:

   Чтобы найти все возможные позиции для квадрата 3×3 в прямоугольнике 7×10, мы можем считать, сколько позиций можно занять верхним левым углом квадрата. Верхний левый угол может находиться в строках с 1 по 5 (поскольку 5 + 3 = 8 и не выходит за пределы 7) и в столбцах с 1 по 8 (поскольку 8 + 3 = 11 и не выходит за пределы 10).

   Таким образом, для строк у нас будет 5 вариантов, а для столбцов - 8 вариантов. Общее количество возможных позиций для квадрата 3×3 составляет 5 * 8 = 40.

4. Определим количество клеток, которые могут быть покрашены:

   Если мы покрасим 32 клетки, то в каждой из 40 позиций квадрата 3×3 есть возможность, что хотя бы одна клетка останется белой. Однако, если мы покрасим 33 клетки, то с учетом теоремы о pigeonhole (теорема о голубятнях), можно гарантировать, что в одной из позиций 3×3 останется только черные клетки. Это значит, что у нас не останется ни одного целиком белого квадрата.

5. Вывод:

   Следовательно, наибольшее количество клеток, которое мы можем покрасить, не нарушая условия о наличии хотя бы одного белого квадрата 3×3, равно 32.