Не выполняя построения, как можно найти координаты точек пересечения окружности x²+y²=17 и прямой y-3x=1?

Математика 8 класс Системы уравнений координаты точек пересечения окружность прямая уравнения математика 8 класс анализ графиков решение задач геометрия система уравнений Новый

Чтобы найти координаты точек пересечения окружности и прямой, нам нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения окружности и уравнения прямой.

У нас есть следующие уравнения:

• Окружность: x² + y² = 17
• Прямая: y - 3x = 1, что можно переписать как y = 3x + 1

Теперь подставим уравнение прямой в уравнение окружности. Это поможет нам выразить одну переменную через другую и решить уравнение:

1. Подставляем y = 3x + 1 в уравнение окружности:
2. Получаем: x² + (3x + 1)² = 17
3. Раскрываем скобки: x² + (9x² + 6x + 1) = 17
4. Собираем подобные: 10x² + 6x + 1 = 17
5. Переносим 17 в левую часть: 10x² + 6x + 1 - 17 = 0
6. Упрощаем: 10x² + 6x - 16 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта:

1. Находим дискриминант D:
2. D = b² - 4ac, где a = 10, b = 6, c = -16.
3. D = 6² - 4 * 10 * (-16) = 36 + 640 = 676.

Так как дискриминант положительный, у нас будет два различных корня. Находим корни с помощью формулы:

1. x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a).
2. x₁ = (-6 + √676) / (20) = (-6 + 26) / 20 = 20 / 20 = 1.
3. x₂ = (-6 - √676) / (20) = (-6 - 26) / 20 = -32 / 20 = -1.6.

Теперь, когда мы нашли значения x, подставим их обратно в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения y:

1. Для x₁ = 1: y = 3(1) + 1 = 4.
2. Для x₂ = -1.6: y = 3(-1.6) + 1 = -4.8 + 1 = -3.8.

Таким образом, координаты точек пересечения окружности и прямой:

• (1, 4)
• (-1.6, -3.8)