Помогите решить три задачи!!!

1. Как найти периметр прямоугольника, если его площадь равна 36 см², а одна из сторон на 9 см больше другой?
2. Как найти стороны прямоугольного треугольника, если один катет на 14 см больше другого и на 2 см меньше гипотенузы?
3. Как найти два последовательных натуральных числа, если сумма их квадратов равна 545?

Математика 8 класс Системы уравнений периметр прямоугольника площадь прямоугольника стороны прямоугольного треугольника катеты треугольника последовательные натуральные числа сумма квадратов чисел задачи по математике 8 класс Новый

Давайте решим каждую из задач по порядку.

Задача 1: Найти периметр прямоугольника, если его площадь равна 36 см², а одна из сторон на 9 см больше другой.

1. Обозначим меньшую сторону прямоугольника как x см. Тогда большая сторона будет равна x + 9 см.
2. Согласно формуле площади прямоугольника, площадь равна произведению сторон:
• Площадь = x * (x + 9) = 36 см².
3. Теперь запишем уравнение:
• x * (x + 9) = 36.
4. Раскроем скобки:
• x² + 9x - 36 = 0.
5. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
• D = b² - 4ac = 9² - 4 * 1 * (-36) = 81 + 144 = 225.
6. Корни уравнения:
• x = (-b ± √D) / 2a = (-9 ± √225) / 2 = (-9 ± 15) / 2.
7. Получаем два корня:
• x₁ = (6) / 2 = 3 см (меньшая сторона),
• x₂ = (-24) / 2 (отрицательный корень, не подходит).
8. Теперь найдем большую сторону:
• Большая сторона = 3 + 9 = 12 см.
9. Теперь можем найти периметр:
• Периметр = 2 * (x + (x + 9)) = 2 * (3 + 12) = 2 * 15 = 30 см.

Ответ: Периметр прямоугольника равен 30 см.

Задача 2: Найти стороны прямоугольного треугольника, если один катет на 14 см больше другого и на 2 см меньше гипотенузы.

1. Обозначим меньший катет как y см. Тогда больший катет будет равен y + 14 см, а гипотенуза равна y + 16 см.
2. По теореме Пифагора у нас есть следующее уравнение:
• (меньший катет)² + (больший катет)² = (гипотенуза)².
3. Подставим значения:
• y² + (y + 14)² = (y + 16)².
4. Раскроем скобки:
• y² + (y² + 28y + 196) = (y² + 32y + 256).
5. Соберем все в одну сторону:
• 2y² + 28y + 196 - y² - 32y - 256 = 0.
6. Упростим уравнение:
• y² - 4y - 60 = 0.
7. Решим квадратное уравнение:
• D = (-4)² - 4 * 1 * (-60) = 16 + 240 = 256.
8. Корни:
• y = (4 ± √256) / 2 = (4 ± 16) / 2.
9. Получаем:
• y₁ = 10 см (меньший катет),
• y₂ = -6 см (отрицательный корень, не подходит).
10. Теперь найдем больший катет и гипотенузу:
• Большой катет = 10 + 14 = 24 см,
• Гипотенуза = 10 + 16 = 26 см.

Ответ: Стороны прямоугольного треугольника: 10 см, 24 см и 26 см.

Задача 3: Найти два последовательных натуральных числа, если сумма их квадратов равна 545.

1. Обозначим первое число как n. Тогда второе число будет n + 1.
2. Согласно условию задачи, у нас есть уравнение:
• n² + (n + 1)² = 545.
3. Раскроем скобки:
• n² + (n² + 2n + 1) = 545.
4. Упростим уравнение:
• 2n² + 2n + 1 = 545.
5. Переносим 545 в левую сторону:
• 2n² + 2n + 1 - 545 = 0.
6. Упрощаем:
• 2n² + 2n - 544 = 0.
7. Теперь делим все на 2:
• n² + n - 272 = 0.
8. Решим квадратное уравнение:
• D = 1² - 4 * 1 * (-272) = 1 + 1088 = 1089.
9. Корни:
• n = (-1 ± √1089) / 2 = (-1 ± 33) / 2.
10. Получаем:
• n₁ = 16 см (первое число),
• n₂ = -17 см (отрицательный корень, не подходит).
11. Второе число: n + 1 = 17 см.

Ответ: Два последовательных натуральных числа: 16 и 17.