Похожие вопросы
2025-09-14 13:45:26
Работая вместе, Саша, Маша и Паша пропалывают грядку за 50/7 минуты. Если бы грядку пропалывали только Саша и Маша, они бы выполнили работу за 75/8 минуты, а если бы ту же грядку пропалывали Саша и Паша вдвоём, у них бы на это ушло 150/11 минуты. Сколько времени потребуется Маше и Паше, чтобы прополоть всю грядку вдвоём? Ответ выразите в минутах.
Математика 8 класс Системы уравнений Саша Маша Паша грядка пропалывание время математика задача 8 класс работа вместе скорость работы
2025-09-14 13:45:38
Давайте решим задачу шаг за шагом, чтобы найти, сколько времени потребуется Маше и Паше, чтобы прополоть грядку вдвоём.
Обозначим:
- t_S - время, за которое Саша пропалывает грядку один.
- t_M - время, за которое Маша пропалывает грядку один.
- t_P - время, за которое Паша пропалывает грядку один.
Сначала найдем скорости работы каждого из них. Скорость работы равна 1, делённая на время, необходимое для выполнения работы. Таким образом:
- Скорость Саши: 1/t_S
- Скорость Маши: 1/t_M
- Скорость Паши: 1/t_P
Теперь запишем уравнения на основе информации из условия:
- Если все трое работают вместе, они выполняют работу за 50/7 минут. Значит, их совместная скорость: 1/t_S + 1/t_M + 1/t_P = 7/50
- Если Саша и Маша работают вместе, они выполняют работу за 75/8 минут. Значит, их совместная скорость: 1/t_S + 1/t_M = 8/75
- Если Саша и Паша работают вместе, они выполняют работу за 150/11 минут. Значит, их совместная скорость: 1/t_S + 1/t_P = 11/150
Теперь у нас есть система из трёх уравнений:
- 1/t_S + 1/t_M + 1/t_P = 7/50
- 1/t_S + 1/t_M = 8/75
- 1/t_S + 1/t_P = 11/150
Из второго уравнения выразим 1/t_P:
1/t_P = 7/50 - 8/75
Приведём к общему знаменателю:
7/50 = 21/150 и 8/75 = 16/150, тогда:
1/t_P = 21/150 - 16/150 = 5/150 = 1/30
Теперь мы знаем, что Паша может прополоть грядку за 30 минут. Подставим это значение в третье уравнение, чтобы найти 1/t_S:
1/t_S + 1/t_P = 11/150
1/t_S + 1/30 = 11/150
1/t_S = 11/150 - 5/150 = 6/150 = 1/25
Таким образом, Саша может прополоть грядку за 25 минут.
Теперь подставим значение 1/t_S в первое уравнение, чтобы найти 1/t_M:
1/t_S + 1/t_M + 1/t_P = 7/50
1/25 + 1/t_M + 1/30 = 7/50
Приведём к общему знаменателю:
1/25 = 6/150 и 1/30 = 5/150, тогда:
6/150 + 1/t_M + 5/150 = 7/50
1/t_M = 7/50 - 11/150 = 21/150 - 11/150 = 10/150 = 1/15
Таким образом, Маша может прополоть грядку за 15 минут.
Теперь мы знаем, что:
- Саша: 25 минут
- Маша: 15 минут
- Паша: 30 минут
Теперь найдем, сколько времени потребуется Маше и Паше, чтобы прополоть грядку вдвоём:
Скорость Маши и Паши:
1/t_M + 1/t_P = 1/15 + 1/30 = 2/30 + 1/30 = 3/30 = 1/10
Следовательно, время, которое потребуется Маше и Паше, чтобы прополоть грядку вдвоём:
t_M + t_P = 10 минут.
Ответ: 10 минут.