Решите задачу с помощью системы уравнений:

1. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр 18 м, а площадь 20 м2.
2. Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

Можно пожалуйста обе задачи с пошаговым решением?

Математика 8 класс Системы уравнений математика система уравнений задачи на прямоугольник периметр и площадь решение задач геометрия стороны прямоугольника диагональ прямоугольника пошаговое решение учебные задачи Новый

Решим обе задачи с помощью систем уравнений.

Первая задача: Найдите стороны прямоугольника, если его периметр 18 м, а площадь 20 м².

1. Обозначим длину прямоугольника как a, а ширину как b.
2. Составим уравнения на основе данных задачи:
• Периметр прямоугольника: 2a + 2b = 18
• Площадь прямоугольника: ab = 20
3. Упростим первое уравнение:
• Разделим всё на 2: a + b = 9
4. Теперь у нас есть система уравнений:
• 1) a + b = 9
• 2) ab = 20
5. Из первого уравнения выразим b: b = 9 - a.
6. Подставим это выражение во второе уравнение:
• a(9 - a) = 20
7. Раскроем скобки:
• 9a - a² = 20
8. Переносим всё в одну сторону:
• a² - 9a + 20 = 0
9. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
• Дискриминант: D = b² - 4ac = (-9)² - 4*1*20 = 81 - 80 = 1
10. Находим корни уравнения:
• a = (9 ± √D) / 2 = (9 ± 1) / 2
• Корни: a1 = 5, a2 = 4
11. Теперь находим b:
    • Если a = 5, то b = 9 - 5 = 4.
    • Если a = 4, то b = 9 - 4 = 5.
12. Таким образом, стороны прямоугольника: 4 м и 5 м.

Вторая задача: Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

1. Обозначим длину прямоугольника как a, а ширину как b.
2. Составим уравнения на основе данных задачи:
• Периметр: 2a + 2b = 34
• Диагональ: a² + b² = 13² = 169
3. Упростим первое уравнение:
• Разделим всё на 2: a + b = 17
4. Теперь у нас есть система уравнений:
• 1) a + b = 17
• 2) a² + b² = 169
5. Из первого уравнения выразим b: b = 17 - a.
6. Подставим это выражение во второе уравнение:
• a² + (17 - a)² = 169
7. Раскроем скобки:
• a² + (289 - 34a + a²) = 169
8. Соберем подобные:
• 2a² - 34a + 289 - 169 = 0
• 2a² - 34a + 120 = 0
9. Упростим уравнение, разделив на 2:
• a² - 17a + 60 = 0
10. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
• Дискриминант: D = (-17)² - 4*1*60 = 289 - 240 = 49
11. Находим корни уравнения:
• a = (17 ± √D) / 2 = (17 ± 7) / 2
• Корни: a1 = 12, a2 = 5
12. Теперь находим b:
    • Если a = 12, то b = 17 - 12 = 5.
    • Если a = 5, то b = 17 - 5 = 12.
13. Таким образом, стороны прямоугольника: 5 см и 12 см.

Итак, мы нашли стороны прямоугольников в обеих задачах:

• Первая задача: 4 м и 5 м.
• Вторая задача: 5 см и 12 см.