Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b, где a — меньший катет, а b — больший катет. По условию задачи, один катет больше другого на 4 см, то есть:

• b = a + 4

Также нам известно, что площадь прямоугольного треугольника равна 96 см². Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

• Площадь = (a * b) / 2

Подставим известные значения в формулу площади:

• (a * b) / 2 = 96

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

• a * b = 192

Теперь подставим значение b из первого уравнения во второе:

• a * (a + 4) = 192

Раскроем скобки:

• a^2 + 4a = 192

Теперь перенесем 192 на левую сторону уравнения:

• a^2 + 4a - 192 = 0

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью дискриминанта. Сначала найдем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac

В нашем случае a = 1, b = 4, c = -192. Подставим эти значения:

• D = 4^2 - 4 * 1 * (-192)
• D = 16 + 768
• D = 784

Теперь найдем корни квадратного уравнения по формуле:

• a = (-b ± √D) / 2a

Подставим значения:

• a = (-4 ± √784) / 2

Теперь найдем два возможных значения для a:

• a1 = (24) / 2 = 12
• a2 = (-32) / 2 = -16 (это значение не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Таким образом, a = 12 см. Теперь найдем b:

• b = a + 4 = 12 + 4 = 16 см

Итак, длины сторон прямоугольного треугольника:

• Катет a = 12 см
• Катет b = 16 см

Ответ: длины сторон прямоугольного треугольника равны 12 см и 16 см.