В школе "Олмат" каждому победителю олимпиады выдали 5 блокнотов и 10 ручек, каждому призёру - 3 блокнота и 8 ручек, а всем остальным участникам - по 1 блокноту и по 6 ручек. Всего школа "Олмат" выдала 200 блокнотов и 600 ручек. Сколько школьников приняло участие в олимпиаде?

Математика 8 класс Системы уравнений математика 8 класс олимпиада блокноты ручки решение задач система уравнений количество участников школьники задача на внимание математическая задача Новый

Давайте обозначим количество победителей, призёров и остальных участников олимпиады:

• x - количество победителей
• y - количество призёров
• z - количество остальных участников

Теперь запишем уравнения, исходя из условий задачи.

Сначала рассмотрим блокноты. Каждый победитель получает 5 блокнотов, каждый призёр - 3 блокнота, а каждый участник - 1 блокнот. Суммарно у нас есть:

5x + 3y + z = 200

Теперь рассмотрим ручки. Каждый победитель получает 10 ручек, каждый призёр - 8 ручек, а каждый участник - 6 ручек. Суммарно у нас есть:

10x + 8y + 6z = 600

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. 5x + 3y + z = 200
2. 10x + 8y + 6z = 600

Чтобы упростить решение, можно выразить z из первого уравнения:

z = 200 - 5x - 3y

Теперь подставим это значение z во второе уравнение:

10x + 8y + 6(200 - 5x - 3y) = 600

Раскроем скобки:

10x + 8y + 1200 - 30x - 18y = 600

Соберем подобные слагаемые:

-20x - 10y + 1200 = 600

Теперь перенесем 1200 на правую сторону:

-20x - 10y = 600 - 1200

-20x - 10y = -600

Упростим это уравнение, разделив все на -10:

2x + y = 60

Теперь у нас есть еще одно уравнение:

1. 2x + y = 60
2. 5x + 3y + z = 200

Теперь мы можем выразить y из первого уравнения:

y = 60 - 2x

Подставим это значение y во второе уравнение:

5x + 3(60 - 2x) + z = 200

Раскроем скобки:

5x + 180 - 6x + z = 200

Соберем подобные слагаемые:

-x + z + 180 = 200

Переносим 180 на правую сторону:

z - x = 20

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. 2x + y = 60
2. z - x = 20

Теперь выразим z:

z = x + 20

Теперь мы можем подставить значение z в первое уравнение:

2x + (60 - 2x) = 60

Это уравнение всегда верно, что означает, что мы можем выбрать любое значение x, которое удовлетворяет условиям. Давайте подставим x = 20:

Тогда:

y = 60 - 2*20 = 20

z = 20 + 20 = 40

Теперь найдем общее количество участников:

x + y + z = 20 + 20 + 40 = 80

Таким образом, всего в олимпиаде приняло участие 80 школьников.