Давайте обозначим количество победителей, призёров и остальных участников олимпиады:

• x - количество победителей
• y - количество призёров
• z - количество остальных участников

Теперь запишем уравнения, исходя из условий задачи.

Сначала рассмотрим блокноты. Каждый победитель получает 5 блокнотов, каждый призёр - 3 блокнота, а каждый участник - 1 блокнот. Суммарно у нас есть:

Теперь рассмотрим ручки. Каждый победитель получает 10 ручек, каждый призёр - 8 ручек, а каждый участник - 6 ручек. Суммарно у нас есть:

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. 5x + 3y + z = 200
2. 10x + 8y + 6z = 600

Чтобы упростить решение, можно выразить z из первого уравнения:

Теперь подставим это значение z во второе уравнение:

Раскроем скобки:

Соберем подобные слагаемые:

Теперь перенесем 1200 на правую сторону:

Упростим это уравнение, разделив все на -10:

Теперь у нас есть еще одно уравнение:

1. 2x + y = 60
2. 5x + 3y + z = 200

Теперь мы можем выразить y из первого уравнения:

Подставим это значение y во второе уравнение:

Раскроем скобки:

Соберем подобные слагаемые:

Переносим 180 на правую сторону:

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. 2x + y = 60
2. z - x = 20

Теперь выразим z:

Теперь мы можем подставить значение z в первое уравнение:

Это уравнение всегда верно, что означает, что мы можем выбрать любое значение x, которое удовлетворяет условиям. Давайте подставим x = 20:

Тогда:

Теперь найдем общее количество участников:

Таким образом, всего в олимпиаде приняло участие 80 школьников.