Для решения этой задачи начнем с обозначений:

• Пусть A — время, необходимое первой машине для расчистки катка по отдельности (в минутах).
• Пусть B — время, необходимое второй машине для расчистки катка по отдельности (в минутах).

Сначала найдем, сколько работы выполняет каждая из машин за одну минуту:

• Первая машина выполняет 1/A части работы за одну минуту.
• Вторая машина выполняет 1/B части работы за одну минуту.

Когда обе машины работают вместе, они могут расчистить каток за 20 минут. Это означает, что:

• Работа, выполняемая обеими машинами за одну минуту, равна 1/20.

Таким образом, мы можем записать уравнение:

1/A + 1/B = 1/20

Теперь рассмотрим ситуацию, когда первая машина работает 25 минут, а затем её сменяет вторая машина, которая работает 16 минут. За 25 минут первая машина выполнит:

25/A части работы.

После этого вторая машина работает 16 минут и выполняет:

16/B части работы.

Весь каток будет расчистен, значит:

25/A + 16/B = 1

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. 1/A + 1/B = 1/20 (1)
2. 25/A + 16/B = 1 (2)

Теперь выразим 1/B из первого уравнения:

1/B = 1/20 - 1/A

Подставим это выражение во второе уравнение:

25/A + 16/(1/(1/20 - 1/A)) = 1

Упростим вторую часть:

16/(1/(1/20 - 1/A)) = 16 * (1/20 - 1/A)

Теперь подставим это обратно:

25/A + 16 * (1/20 - 1/A) = 1

Умножим всё на 20A, чтобы избавиться от дробей:

20A * (25/A) + 20A * 16 * (1/20 - 1/A) = 20A

Это даст:

500 + 16A - 20A = 20A

Соберем все A в одну сторону:

500 = 20A - 16A

500 = 4A

A = 125

Теперь подставим A в первое уравнение, чтобы найти B:

1/125 + 1/B = 1/20

Выразим 1/B:

1/B = 1/20 - 1/125

Найдём общий знаменатель (1000):

1/B = 50/1000 - 8/1000 = 42/1000

Таким образом, B = 1000/42 = 25/1.05 ≈ 23.81.

Теперь у нас есть время, необходимое каждой машине для расчистки катка:

• Первая машина: 125 минут
• Вторая машина: ≈ 23.81 минут