Вопрос: Две машины, работая вместе, могут расчистить каток за 20 минут. Если первая машина будет работать 25 минут, а затем её сменит вторая, то она закончит расчистку катка через 16 минут. Сколько времени потребуется каждой из машин, чтобы расчистить каток по отдельности?

Математика 8 класс Задачи на работу две машины работа вместе расчистка катка время работы первая машина вторая машина задача на время математическая задача работа машин эффективность машин Новый

Для решения этой задачи начнем с обозначений:

• Пусть A — время, необходимое первой машине для расчистки катка по отдельности (в минутах).
• Пусть B — время, необходимое второй машине для расчистки катка по отдельности (в минутах).

Сначала найдем, сколько работы выполняет каждая из машин за одну минуту:

• Первая машина выполняет 1/A части работы за одну минуту.
• Вторая машина выполняет 1/B части работы за одну минуту.

Когда обе машины работают вместе, они могут расчистить каток за 20 минут. Это означает, что:

• Работа, выполняемая обеими машинами за одну минуту, равна 1/20.

Таким образом, мы можем записать уравнение:

1/A + 1/B = 1/20

Теперь рассмотрим ситуацию, когда первая машина работает 25 минут, а затем её сменяет вторая машина, которая работает 16 минут. За 25 минут первая машина выполнит:

25/A части работы.

После этого вторая машина работает 16 минут и выполняет:

16/B части работы.

Весь каток будет расчистен, значит:

25/A + 16/B = 1

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. 1/A + 1/B = 1/20 (1)
2. 25/A + 16/B = 1 (2)

Теперь выразим 1/B из первого уравнения:

1/B = 1/20 - 1/A

Подставим это выражение во второе уравнение:

25/A + 16/(1/(1/20 - 1/A)) = 1

Упростим вторую часть:

16/(1/(1/20 - 1/A)) = 16 * (1/20 - 1/A)

Теперь подставим это обратно:

25/A + 16 * (1/20 - 1/A) = 1

Умножим всё на 20A, чтобы избавиться от дробей:

20A * (25/A) + 20A * 16 * (1/20 - 1/A) = 20A

Это даст:

500 + 16A - 20A = 20A

Соберем все A в одну сторону:

500 = 20A - 16A

500 = 4A

A = 125

Теперь подставим A в первое уравнение, чтобы найти B:

1/125 + 1/B = 1/20

Выразим 1/B:

1/B = 1/20 - 1/125

Найдём общий знаменатель (1000):

1/B = 50/1000 - 8/1000 = 42/1000

Таким образом, B = 1000/42 = 25/1.05 ≈ 23.81.

Теперь у нас есть время, необходимое каждой машине для расчистки катка:

• Первая машина: 125 минут
• Вторая машина: ≈ 23.81 минут