Похожие вопросы
2025-08-31 05:39:28
Вопрос: Две трубы, которые открываются одновременно, могут наполнить бассейн за 5 часов. Если увеличить поток воды через первую трубу в 2 раза и уменьшить поток через вторую трубу в 2 раза, то бассейн наполнится за 4 часа. Какое время требуется первой трубе для наполнения бассейна?
- A) 4
- B) 10
- C) 16
- D) 12
Математика 8 класс Системы уравнений трубы бассейн время наполнения математика 8 класс задачи на скорость системы уравнений поток воды решение задачи
2025-08-31 05:39:39
Для решения задачи давайте обозначим время, необходимое первой трубе для наполнения бассейна, как x часов. Тогда скорость первой трубы будет равна 1/x бассейна в час.
Пусть вторая труба наполняет бассейн за y часов. Тогда скорость второй трубы составит 1/y бассейна в час.
Когда обе трубы работают одновременно, их совместная скорость будет равна:
1/x + 1/yПо условию задачи, они могут наполнить бассейн за 5 часов, значит:
1/x + 1/y = 1/5Теперь рассмотрим второй случай, когда поток первой трубы увеличивается в 2 раза, а поток второй трубы уменьшается в 2 раза. Тогда скорости труб будут:
- Первая труба: 2 * (1/x) = 2/x
- Вторая труба: (1/y) / 2 = 1/(2y)
Теперь их совместная скорость будет:
2/x + 1/(2y)По условию задачи, в этом случае бассейн наполняется за 4 часа, значит:
2/x + 1/(2y) = 1/4Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- 1/x + 1/y = 1/5
- 2/x + 1/(2y) = 1/4
Решим первое уравнение для y:
1/y = 1/5 - 1/xТеперь подставим это значение во второе уравнение:
2/x + 1/(2(1/5 - 1/x)) = 1/4Упростим вторую часть:
1/(2(1/5 - 1/x)) = 1/(2/5 - 2/x) = 5/(10 - 2x)Теперь у нас есть:
2/x + 5/(10 - 2x) = 1/4Умножим всё уравнение на 4x(10 - 2x), чтобы избавиться от дробей:
8(10 - 2x) + 20x = x(10 - 2x)Раскроем скобки:
80 - 16x + 20x = 10x - 2x^2Соберем все члены в одном уравнении:
2x^2 + 6x - 80 = 0Теперь можно решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 2 * (-80) = 36 + 640 = 676Теперь найдем корни уравнения:
x = (-b ± √D) / 2a = (-6 ± 26) / 4Это дает два значения:
- x1 = 5
- x2 = -8 (отрицательное значение не имеет смысла в нашем контексте)
Таким образом, первая труба наполняет бассейн за 10 часов.
Ответ: B) 10