1) Как можно вычислить производную функции f(x) = -ctgx - x, применяя определение производной функции в конкретной точке?

Чтобы вычислить производную функции в конкретной точке, мы используем определение производной, которое основано на пределе. Производная функции f(x) в точке x₀ определяется как предел при Δx → 0 следующего выражения:

f'(x₀) = lim(Δx → 0) [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

Теперь применим это к функции f(x) = -ctgx - x в точке x₀:

1. Подставляем x₀ в функцию: f(x₀) = -ctg(x₀) - x₀.
2. Подставляем x₀ + Δx в функцию: f(x₀ + Δx) = -ctg(x₀ + Δx) - (x₀ + Δx).
3. Вычисляем разность: f(x₀ + Δx) - f(x₀) = [-ctg(x₀ + Δx) - (x₀ + Δx)] - [-ctg(x₀) - x₀].
4. Упрощаем: = -ctg(x₀ + Δx) + ctg(x₀) - Δx.
5. Подставляем в выражение для производной: f'(x₀) = lim(Δx → 0) [-ctg(x₀ + Δx) + ctg(x₀) - Δx] / Δx.
6. Теперь нужно найти предел этого выражения. Для этого может понадобиться использование известных пределов и свойств тригонометрических функций.

Если рассматривать производную ctgx, то она равна -1/sin²x, что можно использовать для нахождения предела.

Таким образом, производная функции f(x) в точке x₀ будет равна:

f'(x₀) = -(-1/sin²(x₀)) - 1 = 1/sin²(x₀) - 1.

2) Как определить значение производной функции f(x) = (1 - 10^x) / (1 + 10^x) в точке x₀ = 0?

Чтобы определить значение производной функции в точке x₀ = 0, мы можем использовать стандартные правила дифференцирования. Здесь функция представлена в виде дроби, поэтому будет удобно использовать правило дифференцирования для дробных функций:

Если у нас есть функция f(x) = u(x) / v(x), то ее производная будет:

f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]²

Для функции f(x) = (1 - 10^x) / (1 + 10^x):

1. u(x) = 1 - 10^x, v(x) = 1 + 10^x.
2. Найдем u'(x): производная 1 - 10^x равна -10^x * ln(10).
3. Найдем v'(x): производная 1 + 10^x равна 10^x * ln(10).
4. Подставляем в формулу для производной:
5. f'(x) = [(-10^x * ln(10))(1 + 10^x) - (1 - 10^x)(10^x * ln(10))] / (1 + 10^x)².
6. Упрощаем выражение в числителе:
7. = [-10^x * ln(10) - 10^(2x) * ln(10) - 10^x * ln(10) + 10^(2x) * ln(10)].
8. Это упрощается до: [-2 * 10^x * ln(10)].
9. Теперь подставляем x₀ = 0:
10. f'(0) = [-2 * 10^0 * ln(10)] / (1 + 10^0)² = [-2 * ln(10)] / 4 = -ln(10) / 2.

Таким образом, значение производной функции в точке x₀ = 0 равно -ln(10) / 2.