Похожие вопросы
2025-09-11 09:51:14
28. Упростите выражение (cos^3 α - sin^3 α) / (1 + sin α cos α)
A) cos α
B) cos α + sin α
C) cos α - sin α
D) cos^2 α - sin^2 α
E) 1
Математика 9 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения математика 9 класс Тригонометрия cos α sin α Новый
2025-09-11 09:51:31
Чтобы упростить выражение (cos^3 α - sin^3 α) / (1 + sin α cos α), начнем с рассмотрения числителя и знаменателя отдельно.
Шаг 1: Упростим числитель.
Числитель имеет вид cos^3 α - sin^3 α. Это выражение можно разложить по формуле разности кубов:
Если a = cos α и b = sin α, то:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).
Таким образом, мы можем записать:
- cos^3 α - sin^3 α = (cos α - sin α)(cos^2 α + cos α sin α + sin^2 α).
Так как cos^2 α + sin^2 α = 1, то:
- cos^2 α + cos α sin α + sin^2 α = 1 + cos α sin α.
Следовательно, числитель можно записать как:
- (cos α - sin α)(1 + cos α sin α).
Шаг 2: Запишем полное выражение.
Теперь подставим числитель в исходное выражение:
- (cos α - sin α)(1 + cos α sin α) / (1 + sin α cos α).
Шаг 3: Упростим дробь.
Мы видим, что (1 + cos α sin α) в числителе и (1 + sin α cos α) в знаменателе - это одно и то же выражение, поэтому они сокращаются:
- (cos α - sin α) / 1 = cos α - sin α.
Ответ: Таким образом, упрощенное выражение равно cos α - sin α. Это соответствует варианту C).