Как упростить выражение tga/(1 - tg^2a) + ctga/(1 - ctg^2a, где a - это альфа?

Математика 9 класс Упрощение тригонометрических выражений упростить выражение математика 9 класс Тригонометрия тангенс котангенс формулы тригонометрии алгебраические выражения упрощение дробей тождество Углы альфа tg ctg математические задачи Новый

Давайте упростим данное выражение: tga/(1 - tg^2a) + ctga/(1 - ctg^2a. Для этого нам нужно помнить несколько тригонометрических идентичностей и свойства тангенса и котангенса.

Во-первых, давайте запишем, что такое тангенс и котангенс:

• tga = sin(a)/cos(a)
• ctga = cos(a)/sin(a)

Теперь мы можем выразить tg^2a и ctg^2a:

• tg^2a = (sin(a)/cos(a))^2 = sin^2(a)/cos^2(a)
• ctg^2a = (cos(a)/sin(a))^2 = cos^2(a)/sin^2(a)

Теперь подставим эти выражения в наше изначальное выражение:

Мы получим:

1. Первое слагаемое: tga/(1 - tg^2a = (sin(a)/cos(a)) / (1 - sin^2(a)/cos^2(a))
2. Второе слагаемое: ctga/(1 - ctg^2a = (cos(a)/sin(a)) / (1 - cos^2(a)/sin^2(a))

Теперь упростим эти дроби:

• 1 - sin^2(a)/cos^2(a) = (cos^2(a) - sin^2(a))/cos^2(a)
• 1 - cos^2(a)/sin^2(a) = (sin^2(a) - cos^2(a))/sin^2(a)

Подставляем обратно и упрощаем:

1. Первое слагаемое: (sin(a)/cos(a)) / ((cos^2(a) - sin^2(a))/cos^2(a)) = sin(a) * cos^2(a) / (cos(a) * (cos^2(a) - sin^2(a)))
2. Второе слагаемое: (cos(a)/sin(a)) / ((sin^2(a) - cos^2(a))/sin^2(a)) = cos(a) * sin^2(a) / (sin(a) * (sin^2(a) - cos^2(a)))

Теперь, чтобы сложить два слагаемых, нам нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением (cos^2(a) - sin^2(a)) и (sin^2(a) - cos^2(a)). Но заметим, что (sin^2(a) - cos^2(a)) = -(cos^2(a) - sin^2(a)). Таким образом, мы можем упростить выражение и привести к более компактному виду.

В результате, после всех преобразований и упрощений, мы получаем следующее выражение:

Результат: (sin(a) * cos(a)) (в зависимости от конкретного значения a, конечный ответ может быть упрощен еще больше).