Как можно упростить выражение: Sin3x - sinx cos2x, разделенное на Sin3x + sinx?

Математика 9 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения математика 9 класс sin3x sinx cos2x тригонометрические функции дроби в математике Новый

Чтобы упростить выражение (Sin3x - sinx cos2x) / (Sin3x + sinx), давайте разберемся с каждым компонентом по отдельности.

1. **Распишем Sin3x**. Используем формулу для синуса тройного угла:

• Sin3x = 3Sinx - 4Sin^3x

2. **Подставим это в выражение**:

• В числителе: Sin3x - sinx cos2x = (3Sinx - 4Sin^3x) - sinx cos2x
• В знаменателе: Sin3x + sinx = (3Sinx - 4Sin^3x) + sinx

3. **Упрощаем числитель**:

• Числитель: 3Sinx - 4Sin^3x - sinx cos2x
• Объединим подобные слагаемые: 3Sinx - sinx cos2x - 4Sin^3x

4. **Упрощаем знаменатель**:

• Знаменатель: 3Sinx - 4Sin^3x + sinx
• Объединим подобные слагаемые: 4Sinx - 4Sin^3x

5. **Теперь мы можем вынести общий множитель в числителе и знаменателе**:

• Числитель: Sinx(4 - 4Sin^2x - cos2x)
• Знаменатель: 4Sinx(1 - Sin^2x)

6. **Сократим Sinx** (при условии, что Sinx не равно 0):

• Получаем: (4 - 4Sin^2x - cos2x) / 4(1 - Sin^2x)

7. **Используем формулу для cos2x**:

• cos2x = 1 - 2Sin^2x

8. **Подставляем это в числитель**:

• Числитель: 4 - 4Sin^2x - (1 - 2Sin^2x) = 4 - 4Sin^2x - 1 + 2Sin^2x = 3 - 2Sin^2x

9. **Теперь окончательно упростим выражение**:

• (3 - 2Sin^2x) / 4(1 - Sin^2x)
• 1 - Sin^2x можно заменить на Cos^2x, так что получаем: (3 - 2Sin^2x) / 4Cos^2x

Таким образом, окончательное упрощенное выражение: (3 - 2Sin^2x) / (4Cos^2x)