Похожие вопросы
2025-12-05 07:07:31
Если tg² α + ctg² α = 7 и α находится в интервале (270°; 360°), то каково значение выражения tg α + ctg α?
- √7;
- -√7;
- 3;
- -3;
- 2.
Математика 9 класс Тригонометрические функции tg² α ctg² α значение tg α + ctg α математика 9 класс тригонометрические функции
2025-12-05 07:07:53
Давайте сначала разберем данное уравнение: tg² α + ctg² α = 7. Мы знаем, что:
- tg α = sin α / cos α
- ctg α = cos α / sin α
Теперь, выразим ctg² α через tg² α:
ctg² α = 1 / tg² α.
Подставим это в уравнение:
tg² α + 1 / tg² α = 7.
Обозначим tg² α как x. Тогда у нас получится:
x + 1/x = 7.
Умножим обе стороны на x (при условии, что x ≠ 0):
x² + 1 = 7x.
Теперь перенесем все в одну сторону:
x² - 7x + 1 = 0.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b² - 4ac = (-7)² - 4*1*1 = 49 - 4 = 45.
Теперь найдем корни уравнения:
x = (7 ± √45) / 2.
Так как √45 = 3√5, то:
x = (7 ± 3√5) / 2.
Теперь у нас есть два возможных значения для tg² α:
tg² α = (7 + 3√5) / 2 или tg² α = (7 - 3√5) / 2.
Чтобы найти tg α + ctg α, используем формулу:
tg α + ctg α = tg α + 1/tg α = x + 1/x.
Мы уже знаем, что x + 1/x = 7. Таким образом:
tg α + ctg α = 7.
Теперь давайте найдем tg α + ctg α на основании значений tg α и ctg α. Мы знаем, что α находится в интервале (270°, 360°), следовательно, tg α < 0 и ctg α < 0. Это значит, что tg α + ctg α будет отрицательным.
Поскольку 7 - это положительное число, то оно не может быть решением. Теперь давайте проверим, какое значение из предложенных вариантов подходит:
- √7 - положительное
- -√7 - отрицательное
- 3 - положительное
- -3 - отрицательное
- 2 - положительное
Из предложенных значений, только -√7 и -3 являются отрицательными. Но так как tg α + ctg α = 7, а это больше 0, то мы можем заключить, что правильным ответом будет -√7. Но так как у нас есть только одно положительное значение, то:
Ответ: -√7.