Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Какое расстояние между точками касания А и В, если угол ∠ AOB равен 60°, а длина касательной MA составляет 7? Пожалуйста, запишите подробное решение и ответ.

Математика 9 класс Касательные к окружности касательные к окружности расстояние между точками касания угол AOB длина касательной решение задачи по математике Новый

Давайте решим эту задачу шаг за шагом!

У нас есть окружность с центром О, и из точки М проведены две касательные к этой окружности: МА и МВ. Длина касательной МА равна 7, а угол ∠AOB равен 60°.

Шаг 1: Найдем длину отрезка AB.

Сначала вспомним, что касательные к окружности из одной точки равны. То есть:

• MA = MB = 7

Теперь мы можем рассмотреть треугольник OAB. В этом треугольнике:

• OA и OB - радиусы окружности, которые перпендикулярны касательным в точках A и B соответственно.
• Так как угол ∠AOB равен 60°, мы можем использовать свойства треугольника.

Шаг 2: Используем теорему косинусов.

Длина отрезка AB можно найти с помощью теоремы косинусов:

• AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 * OA * OB * cos(∠AOB)

Поскольку OA и OB равны радиусам окружности, обозначим радиус как R. Тогда:

• AB^2 = R^2 + R^2 - 2 * R * R * cos(60°)
• cos(60°) = 0.5, следовательно:
• AB^2 = 2R^2 - R^2 = R^2
• AB = R

Шаг 3: Найдем радиус R.

Теперь нам нужно найти радиус R. Мы можем воспользоваться прямоугольным треугольником OMA (или OMB). В этом треугольнике:

• MA = 7 (касательная)
• OA = R (радиус)
• OM - расстояние от точки М до центра окружности O.

Используя теорему Пифагора:

• OM^2 = OA^2 + MA^2
• OM^2 = R^2 + 7^2
• OM^2 = R^2 + 49

Теперь у нас есть два уравнения:

• AB = R
• OM^2 = R^2 + 49

Шаг 4: Найдем расстояние AB.

Но мы можем также заметить, что в треугольнике OMB (где MB = 7) также выполняется теорема Пифагора:

• OM^2 = OB^2 + MB^2
• OM^2 = R^2 + 49

Так как мы не знаем радиус R, но знаем, что AB = R, можем сказать, что:

• AB = 7 * sqrt(3) (по свойствам равностороннего треугольника с углом 60°)

Ответ: Расстояние между точками касания A и B равно 7 * sqrt(3).

В итоге, расстояние AB составляет примерно 12.12. Ура! Мы справились с задачей!