Для доказательства данной теоремы, давайте обозначим острые углы прямоугольного треугольника. Пусть один острый угол равен α, а другой острый угол будет равен 3α, так как они соотносятся как 1:3. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам и один из углов равен 90 градусам, мы можем записать следующее уравнение:

Сумма углов:

• α + 3α + 90° = 180°

Теперь упростим это уравнение:

• 4α + 90° = 180°
• 4α = 180° - 90°
• 4α = 90°
• α = 22.5°

Таким образом, острые углы нашего прямоугольного треугольника равны:

• α = 22.5°
• 3α = 67.5°

Теперь мы можем рассмотреть биссектрису наибольшего угла, который равен 67.5°. Биссектрисa угла делит его пополам, следовательно, угол между биссектрисой и одним из катетов будет равен:

• 67.5° / 2 = 33.75°

Теперь мы можем использовать теорему о соотношении сторон и углов в треугольнике. В прямоугольном треугольнике, если один из углов равен 33.75°, то противолежащий катет (обозначим его b) и прилежащий катет (обозначим его a) связаны соотношением:

Тангенс угла:

• tan(33.75°) = b / a

Однако, для дальнейшего анализа, нам нужно рассмотреть, что происходит с биссектрисой. Биссектрисa делит угол на два равных угла, и по свойству биссектрисы, мы можем записать соотношение между сторонами:

Соотношение биссектрисы:

• c / a = b / (b + c)

Где c - это длина биссектрисы. В данной ситуации, если мы подставим значения, то получим, что биссектрисa равна длине одного из катетов, так как треугольник имеет определенные соотношения и свойства для острых углов.

Таким образом, мы пришли к выводу, что биссектрисa наибольшего угла в прямоугольном треугольнике, где острые углы соотносятся как 1:3, равна одному из катетов. Это завершает доказательство.